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Duale Basis, Linearkombination, Linearformen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, duale basis, kanonische Basis, Linearform, Linearkombination, Matrizenrechnung, Vektorraum

anjula aktiv_icon

21:49 Uhr, 22.05.2018

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Im Vektorraum

R^{3 x 1}

sei neben der kanonischen Basis

E

noch eine Basis

B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

gegeben mit

B = ({(1,2,0)}^{T}, {(- 2, - 3, - 1)}^{T}, {(3,4,3)}^{T})

a)

Bestimme die zu

B

duale Basis

B ⋆

und stelle mit deren Hilfe den Vektor

x

mit

< E ⋆, x > = {(2,1, - 1)}^{T}

als Linearkombination von

B

dar.

Hier habe ich schon mal die duale Basis ausgerechnet:

b_{1} ⋆ = (- 5, 3, 1), b_{2} ⋆ = (- 6, 3, 2), b_{3} ⋆ = (- 2, 1, 1)

Nur weiß ich leider nicht mehr weiter. Wie soll ich nun mit Hilfe von

B ⋆

bzw

B

den Vektor

x

als Linearkombination von

B

darstellen?
Soll man da so vorgehen:

x_{1} \cdot b_{1} + x_{2} \cdot b_{2} + x_{3} \cdot b_{3} = {(2,1, - 1)}^{T}

?

Da komme ich auf

x_{1} = - 8, x_{2} = - 11, x_{3} = - 4

Aber stimmt das so? Denn

< E ⋆, x >

Ist ja wie folgt definiert:

x_{1} \cdot e_{1} + x_{2} \cdot e_{2} + x_{3} \cdot e_{3} = {(2, 1, - 1)}^{T}

Dann ist

x_{1} = 2, x_{2} = 1, x_{3} = - 1

.

Aber ich soll

x

ja mit Hilfe der Basis

B

und der dualen Basis

B ⋆

den Vektor

x

mit

< E ⋆, x > = {(2, 1, - 1)}^{T}

als Linearkombination von

B

darstellen. Irgendwie habe ich da ein Verständnisproblem ..

Soll ich da einfach für

x_{1} = 2, x_{2} = 1, x_{3} = - 1

und

b_{1} = {(1,2,0)}^{T}, b_{2} = {(- 2, - 3, - 1)}^{T}, b_{3} = {(3,4,3)}^{T}

x_{1} \cdot b_{1} + x_{2} \cdot b_{2} + x_{3} \cdot b_{3}

ausrechnen?

b)

Stelle die Linearform

a ⋆

mit

< a ⋆, E > = (7,1,5)

als Linearkombination von

B \cdot

dar.

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

- - - - - = < a ⋆, E >

715

< a ⋆, E >

ist wie folgt definiert:

< a ⋆, E > = (< a ⋆, e_{1} >, < a ⋆, e_{2} >, < a \cdot, e_{3} >) = : (a_{1}, a_{2}, a_{3})

a_{1} = 7, a_{2} = 1, a_{3} = 5

Wie bei

a)

dass ich eben

a_{1} = 7, a_{2} = 1, a_{3} = 5

und

b_{1} ⋆ = (- 5, 3, 1), b_{2} ⋆ = (- 6, 3, 2), b_{3} ⋆ = (- 2, 1, 1)

mit

a_{1} \cdot b_{1} ⋆ + a_{2} \cdot b_{2} ⋆ + a_{3} + b_{3} ⋆

ausrechne?

Ich habe so das Gefühl, dass das nicht so stimmt. Kann mir bitte jemand helfen?

Vielen Dank und Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

12:54 Uhr, 23.05.2018

Hallo anjula,

leider weiß ich nicht, was

< E^{*}, x >

bedeuten soll.

E^{*}

ist ja kein Vektor des
Dualraumes, sondern die ganze Dualbasis zur kanonischen Basis ...
Ist das wirklich der genaue Aufgabentext?
Ansonsten kannst die Koeffizienten

x_{1}, x_{2}, x_{3}

in der gesuchten Linearkombination
so bestimmen, indem du folgendes ausnutzt:

b_{1}^{*} (x_{1} \cdot b_{1} + x_{2} \cdot b_{2} + x_{3} \cdot b_{3}) = x_{1} \cdot b_{1}^{*} (b_{1}) + x_{2} \cdot b_{1}^{*} (b_{2}) + x_{3} \cdot b_{1}^{*} (b_{3}) = x_{1} \cdot 1 + x_{2} \cdot 0 + x_{3} \cdot 0 = x_{1}

.

Oder anders geschrieben:

< b_{1}^{*}, x_{1} \cdot b_{1} + x_{2} \cdot b_{2} + x_{3} \cdot b_{3} > = x_{1} < b_{1}^{*}, b_{1} > + x_{2} < b_{1}^{*}, b_{2} > \dots

Gruß ermanus

anjula aktiv_icon

13:18 Uhr, 23.05.2018

Hallo ermanus!

Ich habe ein Bild nun ein Bild hinzugefügt, wo

< B ⋆, x >

beschrieben wird. Diese habe ich nämlich zum Lösen dieser Aufgabe genommen und

B ⋆

durch

E ⋆

ersetzt.

Ich habe auch die Aufgabe abfotografiert und beigefügt. Es könnte sein, dass ich einen Fehler beim Abtippen der Aufgabe gemacht habe, daher ist es besser wenn ich die Aufgabe als Bild hinzufüge.

Okk, wähle ich dann noch

x_{1} = 2, x_{2} = 1

und

x_{3} = - 1

damit ich auf das Ergebnis

{(2, 1, - 1)}^{T}

komme?
Oder reicht es so wie du das gemacht hast?

Lg

ermanus aktiv_icon

13:33 Uhr, 23.05.2018

Ich glaube, du hast meine Formeln missverstanden, daher nochmal ganz konkret für
deinen Fall:

x_{1} = < b_{1}^{*}, (2, 1, - 1)^{T} > = < (- 5, 3, 1), (2, 1, - 1)^{T} > = (- 5) \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = - 8

x_{2} = < b_{2}^{*}, (2, 1, - 1)^{T} > = < (- 6, 3, 2), (2, 1, - 1)^{T} > = (- 6) \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) = - 11

x_{3} = \dots

anjula aktiv_icon

13:43 Uhr, 23.05.2018

Achso ..

Aber deine Formel ist zu dieser Formel:

x_{1} \cdot b_{1} = (1, 2, 0) + x_{2} \cdot b_{2} = (- 2, - 3, - 1) + x_{3} \cdot b_{3} = (3, 4, 3) = (2, 1, - 1)

äquivalent oder?

Da kommt nämlich für

x_{1} = - 8, x_{2} = - 11

und

x_{3} = - 4

heraus. Also genau dieselben Ergebnisse wie bei deiner Formel.

Lg

ermanus aktiv_icon

13:49 Uhr, 23.05.2018

Deine Formel verstehe ich nicht. Wie soll denn diese Gleichungskette
zwischen ganz verschiedenen Objekten funktionieren :(
Bitte schreibe "korrekte Mathematik" ;-)

ermanus aktiv_icon

13:57 Uhr, 23.05.2018

Ah, ich glaube, ich weiß, was du meinst ...

x_{1} \cdot b_{1} [= (1, 2, 0)] + x_{2} \cdot b_{2} [= (- 2, - 3, - 1)] + x_{3} \cdot b_{3} [= (3, 4, 3)] = (2, 1, - 1)

.

Wenn du aus dieser Gleichung die

x_{1}, x_{2}, x_{3}

bestimmen willst, musst du ein
lineares Gleichungssystem lösen, und das hast du ja auch erfolgreich gemacht.

Der "Witz" mit der Dualbasis ist aber, dass sobald man diese bestimmt hat,
zur Berechnung der

x_{1}, x_{2}, x_{3}

kein Gleichungssystem gelöst werden muss,
sondern nur die Skalarprodukte berechnet werden müssen.

Dies den Studentinnen bewusst zu machen ;-) ist der Sinn dieser Aufgabe.

anjula aktiv_icon

13:57 Uhr, 23.05.2018

Ich rechne doch im Prinzip nur

x = \sum_{j \in I} x_{j} \cdot b_{j} .

. also Skalar mal Vektor

Also stelle ich das Gleichungssystem

x_{1} \cdot b_{1} + x_{2} \cdot b_{2} + x_{3} \cdot b_{3} = x

auf:

x_{1} \cdot 1 + x_{2} \cdot (- 2) + x_{3} \cdot 3 = 2

x_{1} \cdot 2 + x_{2} \cdot (- 3) + x_{3} \cdot 4 = 1

x_{1} \cdot 0 + x_{2} \cdot (- 1) + x_{3} \cdot 3 = - 1

Wenn ich nun dieses Gleichungssystem löse kommen bei mir für

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

dieselben Ergebnisse heraus, wie bei dir.

Lg

anjula aktiv_icon

14:02 Uhr, 23.05.2018

Ja genau das habe ich gemeint :-D)

Achso danke haha

Und wie mache ich dass dann in

b)

?

Da nehme ich statt

b_{1} ⋆, b_{2} ⋆

und

b_{3} ⋆

die Basis

B

her und statt

(2, 1, - 1)

den Vektor

(7, 1, 5)

oder?

Lg

ermanus aktiv_icon

14:10 Uhr, 23.05.2018

Ja, so funktioniert es !

y_{1} = < a^{*}, b_{1} > = \dots = 9

, falls ich mich nicht verrechnet habe.

Dann hast du

a^{*} = y_{1} \cdot b_{1}^{*} + y_{2} \cdot b_{2}^{*} + \dots

anjula aktiv_icon

14:54 Uhr, 23.05.2018

Ok ich habe es jetzt so gerechnet:

y_{1} = < b_{1}, (7, 1, 5) > = < {(1, 2, 0)}^{T}, (7,1,5) > = 1 \cdot 7 + 2 \cdot 1 + 0 \cdot 5 = 9

y_{2} = - 22

y_{3} = 40

und

a ⋆ = y_{1} \cdot b_{1} ⋆ + y_{2} \cdot b_{2} ⋆ + y_{3} \cdot b_{3} ⋆

= 9 \cdot (- 5, 3, 1) + (- 22) \cdot (- 6, 3, 2) + 40 \cdot (- 2, 1, 1)

= (- 45, 27, 9) + (132, - 66, - 44) + (- 80, 40, 40)

= (97, 1, 5)

Also ist

a ⋆ = (97, 1, 5)

(Falls ich mich nicht verrechnet habe)

Eine kleine Frage hätte ich noch:

< a ⋆, E > = (7, 1, 5) \Rightarrow a ⋆ = 7 \cdot e_{1} ⋆ + 1 \cdot e_{2} ⋆ + 5 \cdot e_{3} ⋆

(Hab ich aus dem Buch)

und hier haben wir

E

mit

B

ausgewechselt und somit kommen wir auf die obige Rechnung, oder?

Lg :-)

ermanus aktiv_icon

15:17 Uhr, 23.05.2018

Du hast dich verrechnet, nicht

(97, 1, 5)

, sondern

(7, 1, 5)

,
nämlich der Ausgangsvektor.
Das muss ja auch so sein, sonst wären die

y_{1}, y_{2}, y_{3}

ja falsch!

ermanus aktiv_icon

15:25 Uhr, 23.05.2018

Bezüglich der Basis

B^{*}

hat

a^{*}

die Koordinatendarstellung

(9, - 22, 40)

,
bezgl. der Basis

E^{*}

die Koordinatendarstellung

(7, 1, 5)

anjula aktiv_icon

15:37 Uhr, 23.05.2018

Hoppla, danke :-)

Oke verstehe, vielen Dank !

Lg

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