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Duale Basis zu einem Faktorraum (V/U)

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: duale basis, Dualisierung, Dualraum, faktorraum, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Quotientenraum, Vektorraum

Alnura aktiv_icon

13:15 Uhr, 24.03.2018

Hallo, ich hänge bei der folgenden Aufgabe:

V

sei der

ℝ^{3}

und

U

der von ((1),(0),(2))erzeugte Unterraum.

e_{1}, e_{2}, e_{3}

sei die Standardbasis von

ℝ^{3}

.
Im ersten Teil sollte bereits gezeigt werden, dass

([e_{1}] [e_{2}])

eine Basis von

V \ U

ist. Die nächste Aufgabe, die mir Schwierigkeiten bereitet ist die folgende:
Sei

(β_{1}, β_{2})

die zu

(\begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \end{matrix})

duale Basis von

(V \ U) ⋆

und

v = (\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) \in V

. Gib

β_{1} ([v])

und

β_{2} ([v])

an.
Ich habe gedacht man könnte anfangen,

(β_{1}, β_{2})

zu berechnen, allerdings bin ich da nicht wirklich weiter gekommen. Ist es überhaupt nötig

(β_{1}, β_{2})

zu berechnen, oder kann man das Ganze auch anders lösen?
Über einen Tipp wäre ich super dankbar, VG

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

17:49 Uhr, 24.03.2018

Hallo,

Du kannst Dir überlegen, wie

[v]

mit Hilfe der Basis

[e_{i}] i = 1,2,

dargestellt werden kann, also

[v] = s \cdot [e_{1}] + t \cdot [e_{2}]

. Dann lässt sich

β_{i} ([v])

mit Hilfe dieser Darstellung berechnen.

Gruß pwm

Alnura aktiv_icon

18:20 Uhr, 24.03.2018

Vielen Dank für die Antwort. Ja, das ergibt Sinn, aber wie berechne ich

β_{1}

bzw.

β_{2}

. Grundsätzlich weiß ich wie ich eine duale Basis berechne, indem ich die Basiselemente in eine Matrix schreibe erhalte ich normalerweise ja durch Invertieren die Basiselente des Dualraums. Mein Problem ist nun aber:

[e_{1}]

und

[e_{2}]

sind ja keine klassischen Vektoren, sondern affine Unterräume, wie kann ich die in eine Matrix eintragen? Oder funktioniert das Ganze irgendwie anders? VG

ermanus aktiv_icon

00:16 Uhr, 25.03.2018

Hallo,
da mir scheint, dass du nicht so recht weißt, wie man die Darstellung von

[v]

als
Linearkombination von

[e_{1}], [e_{2}]

machen soll, hier ein Weg:
(statt der lästigen Lambdas benutze ich

t_{1}, t_{2}, t_{3}

und schreibe die Vektoren
als Zeilenvektoren)

[v] = (t_{1}, t_{2}, t_{3}) + U

. Unser Ziel soll es sein, eine Darstellung

[v] = (s, t, 0) + U

zu bekommen, so wie pwmeyer es vorschlägt.

Wir suchen also ein

u \in U

so, dass

(t_{1}, t_{2}, t_{3}) = (s, t, 0) + u

ist.
Nun ist

u = r (1, 0, 2)

mit einem Skalar

r

,
d.h.

0 + 2 r = t_{3}

, also

r = \frac{1}{2} t_{3}

.
Damit haben wir

u = (\frac{1}{2} t_{3}, 0, t_{3})

, also

(s, t, 0) = (t_{1} - \frac{1}{2} t_{3}, t_{2}, 0)

.

Nach Konstruktion ist nun

[v] = [(t_{1} - \frac{1}{2} t_{3}, t_{2}, 0)]

...

Gruß ermanus

Alnura aktiv_icon

12:30 Uhr, 25.03.2018

Vielen Dank für die lange Antwort! Das verstehe ich auch noch alles, mir ist aktuell nicht klar, wie ich die zu

[e_{1}] [e_{2}]

duale Basis

β_{1} β_{2}

berechne um dann

β_{1} [[v_{1}])

zu berechnen. Ich habe irgendwie keine Vorstellung, was die zu einer Äquvalenzklasse duale Basis sein soll, da ich eine Äquivalenzklasse ja nicht wie normal in eine Matrix eintragen kann um dann durch Invertieren die duale Basis ablesen zu können. VG

ermanus aktiv_icon

12:34 Uhr, 25.03.2018

Du brauchst die duale Basis gar nicht explizit zu kennen, sondern du musst nur
wissen, das

β_{1}, β_{2}

linear sind und dass

β_{i} ([e_{j}]) = δ_{i j}

ist. Damit kannst du

β_{1} ([v])

und

β_{2} ([v])

unmittelbar angeben :-)

Alnura aktiv_icon

12:40 Uhr, 25.03.2018

Dankeschön für die Hilfe, so sollte ich es jetzt auch hinbekommen :-)

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