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Duales Paar, Matrixdarstellung, Lagrange

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: duale basis, interpolation, Lagrange, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Transformationsmatrix

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17:59 Uhr, 07.06.2025

Sei

V_{n} = ℝ [x]_{\leq n - 1}

der Vektorraum mit Polynomen mit Grad höchstens

n - 1

Definiere
-

P (x) = (x - 1) (x - 2) . . . (x - n)

P_{i} (x) = \frac{P (x)}{x - i}

für

i = 1, . . ., n

p_{i} (x) = \frac{P_{i} (x)}{P_{i} (i)}

für

i = 1, . . ., n

E_{j} (p) = p (j)

für

j = 1, . . ., n

Sei

B = (p_{1}, . . ., p_{n})

(Basis von

V_{n}

) und

B ʹ = (E_{1}, . . ., E_{n})

(Basis des Dualraums

V_{n}^{*}

), welche ein duales Paar bilden.

Wir betrachten nun auch die Basis

A = (1, x, . . ., x^{n - 1})

von

V_{n}

a) Berechne

E_{i} (x^{j - 1})

und berechne die Koordinaten von

x^{j - 1}

in der Basis

B

.

-

E_{i} (x^{j - 1}) = x^{j - 1} (i) = i^{j - 1}

x^{j - 1} = \sum_{i = 1}^{n} E_{i} (x^{j - 1}) * p_{i}

(weil

B

und

B ʹ

ein duales Paar bilden)
- Also:

x^{j - 1} = \sum_{i = 1}^{n} i^{j - 1} * p_{i}

b) Berechne die Matrix

M (I d, B, A)

a)

haben wir ja eigentlich die Einträge der Matrix

M (I d, A, B)

mit

a_{i j} = i^{j - 1}

(Ergibt die Vandermode-Matrix) berechnet.

M (I d, B, A)

ist dessen Inverse. Aber die Inverse der Vandermonde-Matrix scheint nicht trivial. Also habe ich mal

p_{i}

berechnet, um eventuell auf die Koordinaten bezgl.

A

herauszufinden.

p_{i} = \prod_{k \neq i} \frac{x - k}{i - k}

, was mich an die Lagrange-Interpolationsformel erinnert.

Wie gehts nun weiter? Könnte es sein, dass die Aufgabe eigentlich wollte, dass man

M (I d, A, B)

berechnet? Denn diese Aufgabe hat nur 1 Punkt, die

a)

sogar 2.

In

c)

ist dann

M (I d, A, B)

für

n = 3

gefragt, was kein Problem darstellt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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