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Dualraum Identitätsabbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Dualraum, Linear Abbildung, Vektorraum

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21:38 Uhr, 27.04.2015

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Seien

V, W

K-Vektorräume

f \in L (V, W)

eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie :

{(I d_{v})}^{⋆} = I d_{v^{⋆}},

wobei

⋆

den Dualraum bzw. die duale Abbildung beschreiben soll.

Meine Überlegung:
Nun gilt ja allgemein für eine lineare Abbildung

f : V \to W

ist die dazu gehörige duale Abbildung

f^{⋆} : W^{⋆} \to V^{⋆},

wobei

w \mapsto w \circ f

.

Somit müsste ja hier gelten:
Da

I d_{v} : V \to V

folgt

{(I d_{v})}^{⋆} : V^{⋆} \to V^{⋆}

mit

v \mapsto v \circ i d_{v}

. Und wenn ich mir

I d_{v^{⋆}}

anschaue, dann gilt

I d_{v^{⋆}} : V^{⋆} \to V^{⋆},

wobei

v \mapsto v \circ i d_{v},

was ja gleich der Abbildung

{(I d_{v})}^{⋆}

wäre.

Das kommt mir allerdings ein wenig komisch vor und ich bin mir nicht sicher, ob das vielleicht totaler Unfug ist :-D)
Also kann mir dabei jemand helfen?

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."