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Dualraum beschränkt
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Hallo, ich soll zeigen, dass mit normierter Raum, gilt: beschränkt . DAZU: mit wird der Dualraum von bezeichnet. Wir haben einige Versionen und Folgerungen von Hahn-Banach im Skript, aber ist nach Voraussetzung ja nicht unbedingt abgeschlossen oder ein Unterraum, aber ein Satz lautet: Sei . Für existiert ein mit . Ich muss ja beide Richtungen zeigen. Erstmal "": die Teilmenge ist beschränkt, heißt es gibt ein , oder? Es gilt nach obigem Satz aber auch, dass für alle existieren sodass , also insbesondere kleiner , oder? Aber wie zeigt man das für alle ? Danke! |
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Per Definition von sind alle daraus stetige lineare Funktionale. Insbesondere sind sie alle beschränkt, es gilt , wo die Operatornorm ist (). Wenn jetzt beschränkt ist, dann haben für ein und alle aus und daher für alle aus , was beschränkt ist. Man braucht hier keinen Hahn-Banach, die Aufgabe ist ziemlich elementar. S. auch chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/viewer.html?pdfurl=https%3A%2F%2Fwww.math.uni-bielefeld.de%2F~mfriesen%2Ffiles%2Ffunkana%2FPU%2FDualraum.pdf&clen=145281&chunk=true |
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Gut, es ist elementar in eine Richtung. Andere ist etwas kniffliger. Also, wenn jetzt für alle ist, warum kann nicht unbeschränkt sein. Angenommen, ist unbeschränkt. Dann gibt's mit . Sei jetzt . Wir können eine Teilfolge auswählen, so dass die endlichen Teilmengen davon linear unabhängig sind. Dann können wir setzen und danach linear fortsetzen auf den von erzeugten Unterraum. Das Ergebnis wird ein beschränktes lineares Funktion auf einem Teilraum von . Diesen können wir nach Hahn-Banach zu einem auf ganz fortsetzen. Und jetzt hätten wir , also ein Widerspruch. |
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Hallo Dr. Boogie und vielen Dank für deine Antwort! Leider kann ich den Link nicht öffnen. Ist die Operatornorm denn i.A. auch beschränkt? |
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Operatornorm ist für jeden stetigen linearen Operator eine endliche Zahl. Das folgt daher, dass für lineare Abbildung stetig <=> beschränkt. S. mathepedia.de/Lineare_Operatoren.html |
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Hallo DrBoogie, ich habe erst jetzt deine Antwort zur Rückrichtung gesehen und dazu noch Fragen: "und danach linear fortsetzen auf den von erzeugten Unterraum. Das Ergebnis wird ein beschränktes lineares Funktion auf einem Teilraum von . Diesen können wir nach Hahn-Banach zu einem auf ganz fortsetzen." Das verstehe ich noch nicht so ganz. Unsere Hahn-Banach Formulierung im Skript lautet: Sei normierter Raum, linearer Unterraum, , dann auf und . Bei der Ungleichungskette gilt ja da wir hier ja eine bestimmte Folge in betrachten, oder? einfach Def von einsetzen wegen Linearität von und fließt hier der Hahn-Banach ein? Reicht hier nicht die Folgerung/Satz aus meinem Anfangsbeitrag? dies gilt ja wegen der Wahl und Annahme. Freue mich über Erläuterungen. |
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"Bei der Ungleichungskette gilt ja supx∈Y∣x′(x)∣≥supn∣x′(xin)∣ da wir hier ja eine bestimmte Folge in Y betrachten, oder?" Ja "supn∣x′(xin)∣=supn∣x′(yin⋅∥xin∥)∣ einfach Def von yn einsetzen" Ja "supn∣x′(yin⋅∥xin∥)∣=supn∥xin∥∣x′(yin)∣ wegen Linearität von X′" Ja. "und fließt hier der Hahn-Banach ein?" Nein, Hahn-Banach brauchen wir, um von dem Teilraum auf den ganzen Raum fortzusetzen. "Reicht hier nicht die Folgerung/Satz aus meinem Anfangsbeitrag?" Der sagt nur, dass man für einen bestimmten ein mit hat. Du brauchst aber einen für die ganze Folge . Wie hilft der Satz dabei? |
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Der Beweis wäre aber einfacher, wenn ihr dieses Resultat nutzen dürft: en.wikipedia.org/wiki/Uniform_boundedness_principle Dann definiert man für jedes aus das Funktional auf so, dass . Nach Voraussetzung wissen wir, dass beschränkt für jedes ist. Nach dem oben zitierten Resultat folgt . Und weil , bedeutet es, dass beschränkt ist. |
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Hallo DrBoogie, leider hatten wir das Resultat noch nicht. Warum gilt dann bzw was verwendet man dafür? |
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Nur die Linearität von . Es gilt doch für alle Zahlen und Norm ist eine Zahl. In meinem Beweis muss man noch zwischen den Fällen 1. hat unendliche viele linear unabhängige Vektoren und 2. ist durch endlich viele Vektoren erzeugt unterscheiden. Die Skizze von oben funktioniert nur im 1. Fall. Im 2. Fall muss man bisschen anders vorgehen. |
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Wie wären denn dann die Ansätze für den 2. Fall? Und nochmal dazu: "danach x′ linear fortsetzen auf den von (yin) erzeugten Unterraum. Das Ergebnis wird ein beschränktes lineares Funktion auf einem Teilraum von X. Diesen können wir nach Hahn-Banach zu einem x′ auf ganz X fortsetzen." Hier wurde auf den von erzeugten UR fortgesetzt. Ist das auch schon Hahn-Banach oder warum geht das? Und meinst du mit beschränktes lineares Funktional ? Denn Hahn-Banach setzt ja nur die Dualräume auf fort, oder? Also in unserem Skript zumindest... |
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"Hier wurde x′ auf den von yin erzeugten UR fortgesetzt. Ist das auch schon Hahn-Banach oder warum geht das?" Nein. Wenn du das fragst, musst du noch einmal lesen, was Hahn-Banach macht. Wenn ich eine Menge der linear unabhängigen Vektoren habe, dann kann ich das Funktional auf den dadurch erzeugten Teilraum durch fortsetzen. Die Summen sind hier immer endlich. Im erzeugten Teilraum sind alle Vektoren von der Form , so definiert man den erzeugten Teilraum. "Und meinst du mit beschränktes lineares Funktional Y′?" Was ist ? Die Notation verstehe ich nicht. |
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ist der Dualraum von , also der Raum der linearen und stetigen Abbildungen. Wir haben Hahn-Banach nämlich nur für und formuliert (siehe weiter oben) |
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Im endlich-dimensionalen Fall gibt's , so dass alle Vektoren aus in der Form schreiben lassen. Wenn unbeschränkt ist, dann ist die Menge der Koeffizienten der Vektoren aus auch unbeschränkt, diesmal in . Deshalb sind entweder die ersten Koordinaten unbeschränkt oder die zweiten oder die dritten... Ohne Einschränkung kann man sagen, dass unbeschränkt sind. Dann definiert man , das ist ein beschränktes Functional, das auf ganz fortgesetzt werden kann. Und es gilt . |
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ist aber bei dir kein Raum, hast du es vergessen? Ich glaube, in diesem Fall ist nicht definiert. |
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Ach stimmt, wir haben ja aus der Folge einen UR erzeugt... ich schaue mir morgen nochmal in Ruhe die Aussage vom Satz von Hahn-Banach und diese Aufgabe an, um das alles nochmal zu verstehen. Vielen Dank für deine Geduld und die ausführliche Hilfe! |
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Hallo DrBoogie. Ich habe jetzt den Hahn-Banach verstanden, aber noch eine Frage zur Fallunterscheidung: "Wenn Y unbeschränkt ist, dann ist die Menge der Koeffizienten (a1,...,an) der Vektoren aus Y auch unbeschränkt". ist ja nach Annahme in beiden Fällen unbeschränkt. Heißt wir brauchen die Fallunterscheidung, da es im Endlichdimensionalen schief geht, da die Koeffizienten aus einem endlichen Körper sind, aber die Vektoren von unendlich, oder? Oben hast du im ersten Fall geschrieben "Wir können eine Teilfolge yin auswählen, so dass die endlichen Teilmengen davon linear unabhängig sind.", was genau meinst du mit endlicher Menge? Dachte wir sind im unendlichen Fall... Und danach bei der Erklärung der Fortsetzung des Funktionals auf den UR: " fortsetzen. Die Summen sind hier immer endlich" warum sind die endlich wenn unbeschränkt ist und unendliche viele linear unabhängige Vektoren hat? Ich hoffe meine Frage bzw Verständnisschwierigkeit der Fallunterscheidung ist klar, danke! |
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Also, unser Ziel ist, ein stetiges Funktional auf zu definieren, das auf nicht beschränkt ist. Das bedeutet, wir brauchen am Ende eine Folge aus , so dass . Aber das erstes Problem ist, wie definiere ich überhaupt auf . Ich kann es nicht beliebig machen, denn muss linear sein. Also wenn z.B. , und alle in sind und , dann muss sein. Deshalb braucht man diese linear unabhängige Vektoren, die erzeugen. Und da wir noch erreichen müssen, betrachten wir zuerst nicht ganz , sondern nur eine unendlich wachsende Folge daraus und den Teilraum, der davon erzeugt wird: . Also zuerst müssen wir auf definieren. Dazu brauchen wir eine Menge der linear unabhängigen Vektoren, die erzeugen. Diese Vektoren kann man zwischen aussuchen. (Da musst du schon selbst verstehen, warum). Also haben wir eine Teilfolge . Wenn sie unendlich ist, dann greift man erstes Argument, denn dann haben wir , weil unendlich wachsend ist. Aber wenn die Teilfolge endlich ist, kann natürlich nicht stimmen. In diesem Fall braucht man anders vorzugehen. Ein Beispiel, wann die Teilfolge endlich wird: wenn mit , dann ist unbeschränkt, aber es wird durch ein einzelnes erzeugt. In diesem Fall besteht die Teilfolge aus einem einzelnen . Es tut mir leid, der Beweis ist ziemlich unangenehm, es ist echt blöd, dass ihr das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit nicht nutzen dürft. |
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Vielen Dank! Ja, ich habe mir die Aufgabe auch irgendwie einfacher vorgestellt... letzte Frage: im endlich-Dimensionalen Fall wurde der Koeffizient definiert. Warum ist das ein beschränktes Funktional und kann auf ganz fortgesetzt werden? Und nach Linearer Algebra kann man ja jede Teilmenge eines Vektorraums als Linearkombination mit irgendwelche Koeffizienten aus dem Körper nehmen. Ist in dem Fall also und ? Kenne die Notation nur andersrum, aber ist ja unbeschränkt, also muss ja ein Koeffizient aus unbeschränkt sein, oder? |
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Da bringst du Einiges durcheinander. Mit linearen Algebra hat das nichts zu tun. "Ist in dem Fall also ak∈Y und xk∈ℝn?" Nein, und . Wie du auf kommst, ist mir ein Rätsel. "Kenne die Notation nur andersrum, aber Y ist ja unbeschränkt, also muss ja ein Koeffizient aus Y unbeschränkt sein, oder?" Ein Koeffizient ist eine Zahl. Wie kann es unbeschränkt sein? :-O "Warum ist das ein beschränktes Funktional" Weil in dem Fall in einem endlichdimensionalen Raum liegt, und in einem endlichdimensionalen Raum sind alle Normen äquivalent. Also gibt's ein , so dass . Daraus folgt , also beschränkt in diesem endlichdimensionalen Raum. "und kann auf ganz X fortgesetzt werden?" Weil das Hahn-Banach sagt. |
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Ah okay. Ja ich meinte und , sorry. "alle Vektoren aus Y in der Form schreiben lassen" mit Okay, hab ich verstanden, das ist doch lineare Algebra, oder nicht? "Wenn Y unbeschränkt ist, dann ist die Menge der Koeffizienten (a1,...,an) der Vektoren aus Y auch unbeschränkt, diesmal in ℝn. [...] Ohne Einschränkung kann man sagen, dass a1 unbeschränkt sind." Warum sind unbeschränkt? Die sind doch aus ... Was genau heißt es denn, dass unbeschränkt ist? Heißt ich finde einen Vektor aus , der ist? Und Vektoren haben die Form ? |
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"Was genau heißt es denn, dass Y unbeschränkt ist?" . Was dasselbe ist wie zu sagen: mit . "Heißt ich finde einen Vektor aus Y, der ∞ ist?" Da sollte dir selbst schon klar sein, dass es Blödsinn ist. "Und Vektoren haben die Form y:=∑k=1nakxk?" Nein, im allgemeinen Fall gibt's keine endliche Menge , so dass alle Elemente aus als lineare Kombinationen davon darstellbar sind. Das ist nur dann der Fall, wenn (durch erzeugte Teilraum) endlich-dimensional ist. Wenn unendlich-dimensional ist, kann es sein, dass es nicht mal abzählbar viele gibt, so dass man alle Elemente von als lineare Kombinationen davon bekommt. Zu dieser Problematik lese über Hamel-Basis. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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