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Dualraum und Skalarprodukt

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Lineare Abbildungen, Vektorraum

babadura aktiv_icon

16:51 Uhr, 07.01.2010

Also, ich habe folgende Aufgabe:
Zeigen Sie: Für jedes

a \in {(ℝ^{n})}^{⋆}

gibt es eindeutig bestimmtes

x \in ℝ^{n}

so dass gilt:

a (v) = < x, v >

für alle

v \in V

.

Sei

b \in ℝ

. Mit anderen Worten muss ich also zeigen, dass egal auf welches

b

dann

v

abgebildet wird, es gibt immer einen

x,

so dass

< x, v > = b

sei

v = (v_{1}, v_{2}, ..., v_{n})

und

x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})

.
Dann gilt:

v_{1} x_{1} + v_{2} x_{2} + . .

v_{n} x_{n} = b

Ich muss also zeigen, dass die Lösungsmenge nie leer ist.
Sind meine Überlegungen richtig? Wenn ja - ein Tipp, wie ich weiter denken soll bzw. wie ich zeige, dass die Lösungsmenge nie leer ist?

Danke

PS. Gibt es in diesem Forum eigentlich eine Suchoption? Wenn ja - wo?

michaL aktiv_icon

17:21 Uhr, 07.01.2010

Hallo Viktorija,

man kann doch das

x

in Abhängigkeit von

a \in ℝ^{n}^{*}

direkt angeben.

Für einen Tipp sei

e_{i}

der

i

te Standardbasisvektor, also z.b.

e_{2} = (0; 1; 0; \dots; 0)^{T}

.
Nun ist doch für einen Vektor

x = (x_{1}; \dots; x_{n})

< x, e_{i} > = x_{i}

Damit lässt sich doch direkt

x

in Abhängigkeit von

a

angeben.

Mfg Michael

babadura aktiv_icon

17:59 Uhr, 07.01.2010

Ich glaube, ich verstehe es doch nicht so wirklich:

ich verstehe, dass

x

von der Wahl von a abhängt, denn a entscheidet, auf welches Element in

ℝ

Vektor

v

abgebildet wird. Ich verstehe auch, dass

v

und

x

auch als Linearkombinationen von Standartbasisvektoren angesehen werden können. Ich verstehe auch, dass

< x, e_{i} > = x_{i}

ist.

ich verstehe allerdings nicht, wie mir das Wissen der Tatsache, dass

< x, e_{i} > = x_{i}

ist helfen soll,

x

in abhängigkeit von a zu definieren.

Meine idee wäre daraus sowas zu bastelltn wie:

v = \sum v_{i} e_{i},

dann ist

< x, v_{i} e_{i} > = x_{i} v_{i}

und

\sum x_{i} v_{i} = b

Dann muss ich aber immer noch einen

x

finden, so dass

x

die Gleichungen so löst, dass

< x, v > = a (v)

Aber das ist doch wieder das gleiche, wie ich schon oben geschrieben habe.

Irgendwie kommt irgendwas bei mir nicht an

: (

hagman aktiv_icon

18:06 Uhr, 07.01.2010

*Wenn* du das tolle

x

gefunden hast, muss doch insbesondere

x_{i} = 〈 x, e_{i} 〉 = a (e_{i})

gelten für

i = 1, ..., n

.
Also hast du nur einen einzigen Kandidaten für

x,

nämlich

x = \sum a (e_{i}) \cdot e_{i}

.
Dass dieser Kandidat auch insgesamt funktioniert, folgt weil die lineare Abbildung

v \mapsto a (v) - 〈 x, v 〉

auf der basis, also auf ganz

V

immer 0 ergibt.

babadura aktiv_icon

18:52 Uhr, 07.01.2010

Ok... soweit alles ersichtlich, bis auf eine Sache:

"Dass dieser Kandidat auch insgesamt funktioniert, folgt weil die lineare Abbildung
v↦a(v)-⟨x,v⟩ auf der basis, also auf ganz

V

immer 0 ergibt."

Ist es eigentlich nicht anders rum? Also: weil dieser Kandidat insgesamt funktioniert, folgt, dass v↦a(v)-⟨x,v⟩ auf der basis, also auf ganz

V

immer 0 ergibt.

Wenn nicht - warum?

Danke

babadura aktiv_icon

19:32 Uhr, 07.01.2010

Na gut, auf jeden Fall ist mein Beweis jetzt fertig :-) vielen Dank euch :-)

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