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Dualraum verstehen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Dualraum, Lineare Abbildungen, Vektorraum

maraikaeferchen aktiv_icon

10:12 Uhr, 22.07.2011

hallo! ich versuche Dualräume und duale Abbildungen mir mit einem beispiel klar zu machen. Ich hab also die
Vektorräume

V = ℝ^{3}

und

W = ℝ^{2}

und

f \in

Hom(V,W) mit

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}, v \mapsto A \cdot v = (\begin{matrix} - 1 & 2 & 6 \\ 3 & - 9 & - 28 \end{matrix}) \cdot v

bzgl.

B_{V} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})}

und

B_{W} = {(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})}

kann mir jemand dann vllt mit meinem Beispiel dieses Diagramm erklären?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:03 Uhr, 22.07.2011

Hallo,

der Dualraum

V^{*}

eines

K

-Vektorraumes

V

besteht aus allen linearen Abbildungen von

V

nach

K

. Er ist selbst wieder ein

K

-Vektorraum. Hat

V

eine endliche Dimension, so hat

V *

genau die gleiche Dimension.
Das sollte dir klar sein, denn lineare Abbildungen eines

n

-dimensionalen Vektorraums

V

nach

K

ist stets von der Form

(\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \mapsto α_{1} \cdot x_{1} + \dots + α_{n} \cdot x_{n} = (α_{1}, \dots, α_{n}) \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array})

.
Man kann also im endlich dimensionalen Fall den Dualraum als Zeilenvektorraum auffassen.

So, du wolltest das Diagramm erklärt bekommen.

Die Abbildung

φ : W \to K

ist ein Element des Dualraums

W^{*}

. Er kann als zweidimensionaler Zeilenvektor aufgefasst werden.

Die von dir angegebene Abbildung von

V

nach

W

kann durch eine Matrix

M (f)

dargestellt werden.
Nun besagt das Diagramm, dass es zu

φ \in W^{*}

einen Zeilenvektor

ψ \in V^{*}

gibt, sodass für jeden Vektor

\vec{v} \in V

gilt:

ψ (\vec{v}) = φ (f (\vec{v}))

, d.h. es gilt

ψ = φ \circ f

.

Man erhält diese Abbildung

ψ

, indem man den Zeilenvektor

φ

von links an die Matrix

M (f)

multipliziert, welche ja eine 2x3-Matrix ist.
Das Ergebnis ist ein dreidimensionaler Zeilenvektor, also eben genau ein Element von

V^{*}

.

Es sei noch gesagt, dass dabei die Festlegung auf die Basen bei

V

und

W

wesentlich ist. Soll heißen: wechselt man auch nur eine Basis, ändert sich vor allem die Matrix

M (f)

, die man eigentlich genauer

M_{B, B ʹ} (f)

hätte nennen müssen.
Dadurch muss zu einem gegebenen Zeilenvektor aus

W^{*}

natürlich ein anderer Zeilenvektor aus

V^{*}

herhalten.
Das Diagramm besagt im Kurzen unter anderem, dass ein Basiswechsel dabei letztlich keine Rolle spielt.

Mfg Michael

maraikaeferchen aktiv_icon

22:33 Uhr, 22.07.2011

wow vielen dank Michael! ich habs mir durchgelesen und glaub es klingt alles plausibel :-)

ich werd mir morgen noch mal ne aufgabe dazu ausdenken und falls mir noch was unklar ist post ich nochmal :-)

ps: des war eine ausfürlichere antwort als ich erhofft hab! danke dafür!

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