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Duration des Portfolios

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Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

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13:44 Uhr, 16.03.2019

Bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter..

Ein Portfolio bestehend aus zwei Anleihen:
Anleihe

1 :

Kuponanleihe mit einer (Rest)laufzeit von

10

Jahren, Kuponzins

4 %,

und einem Nominalwert von 10MioEuro
Anleihe 2: Zerobond mit einer (Rest)Laufzeit von 5 Jahren und einem Nominalwert von

15

Mio Euro

Der aktuelle Marktzins beträgt

1,5 %

a)

Berechnen Sie die Duration des Portfolios!
(Rechenhilfe: Die Anleihe 1 hat bei einem aktuellen Marktzins einen Kurswert von

123055

Mio Euro und eine Duration

8,6142)

b)

Schätzen Sie die absolute Wertänderung des Portfolios, wenn der Marktzins von

1,5 %

auf

2 %

ansteigt?

ZU

a)

würde ich zuerst die Duration von der 2 Anleihe folgendermaßen berechnen:

\frac{15000000 \cdot 5 {(1,015)}^{- 5}}{15000000 \cdot {(1,015)}^{- 5} = 5}

Dann würde ich die Duration von Anleihe 1 mit der Duration von Anleihe zwei addieren

5 + 8,6142 = 13,6142

b)

würde ich dann

0,005 \cdot - (\frac{13,61}{1,015}) \cdot (12,3055 \cdot 10^{6} + 13923904,88)

berechnen

Wäre das so Richtig? Wie berechne ich bei der Anleihe 1 die Duration? Muss ich erst den Kurswert ausrechnen ?

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen. Vielen Dank schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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16:55 Uhr, 16.03.2019

Kann mir niemand helfen?

: (

Enano

18:07 Uhr, 16.03.2019

"Bei dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter.."

Warum nicht? So ähnliche Aufgaben wurden hier doch schon besprochen.

"würde ich zuerst die Duration von der 2 Anleihe folgendermaßen berechnen:"

Da brauchst du nichts berechnen, denn wie du mittlerweile wissen solltest ist:

D_{z e r o} = n

"Dann würde ich die Duration von Anleihe 1 mit der Duration von Anleihe zwei addieren 5+8,6142=13,6142"

Wo hast du das denn her? Von mir doch hoffentlich nicht.
Du hast doch hier erst kürzlich eine Portfolioduration berechnet

(s

20 : 56,13 . 03.19)

.
Bist du da genauso vorgegangen?

Die ganze Mühe ist doch nutzlos, wenn du gleich wieder alles vergißt oder gar nicht erst verstehst.

Die Wertpapier-Portfolioduration wird doch so

o

.ä. beschrieben:

"Sie ist die Summe der mit ihrem prozentualen Marktwert-Anteil am Gesamtwert des Portfolios gewichteten Durations der einzelnen Papiere."
Du hast den Teil zwischen Summe und Durations nicht beachtet.

"Wie berechne ich bei der Anleihe 1 die Duration?"

Macaulay-Duration für endfällige Kupon-Anleihen bei Rücknahme zu pari:

D = \frac{q}{i} - \frac{q + n \cdot (Z - i)}{Z \cdot (q^{n} - 1) + i}

Z =

Jahreskupon,

i =

Marktzinssatz,

q = 1 + i, n =

Restlaufzeit in Jahren

" Muss ich erst den Kurswert ausrechnen ?"

Ja,

u . a

. auch.

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21:53 Uhr, 16.03.2019

: (

die andere Aufgabe habe ich auch verstanden.. Nur steht jetzt hier in der Aufgabe noch der Kuponzins..

Muss ich das dann so machen?

D = \frac{10000000 \cdot 40 \cdot 5 \cdot {(1,015)}^{- 10} + 15000000 \cdot 40 \cdot 5 {(1,015)}^{- 5}}{10000000 {(1,015)}^{- 10} + 15000000 \cdot {(1,015)}^{- 5}}

Oder muss ich jetzt die Formel anwenden die du erwähnt hast ?

Wie müsste ich das dann aber machen ? Was müsste ich dann für

n

einsetzen ?

15

Enano

03:35 Uhr, 17.03.2019

"Nur steht jetzt hier in der Aufgabe noch der Kuponzins.."

Ja und deshalb darfst du die Durations erst recht nicht einfach nur addieren.

"Muss ich das dann so machen?

. .

. "

Nein, denn du hast doch nicht zwei Zerobonds, sondern einen Zerobond und eine Kuponanleihe, bei der du auch die jährlichen Zinszahlungen abzinsen musst.
Was haben denn die "40" zu bedeuten ?

"Oder muss ich jetzt die Formel anwenden die du erwähnt hast ?"

Nein, die Formel brauchst du bei dieser Aufgabe nur anwenden, wenn du die Duration für Anleihe 1 selbst ausrechnen möchtest. (deine Frage: "Wie berechne ich bei der Anleihe 1 die Duration?")

"Was müsste ich dann für

n

einsetzen ? 15?"
Die Laufzeit von Anleihe

1,

also

10

.

Die allgemeine Formel zur Berechnung einer Portfolioduration lautet

z . B . :

D_{p} = a_{1} \cdot D_{1} + a_{2} \cdot D_{2} + . .

+ a_{n} \cdot D_{n}

Es werden also die einzelnen Marktwertanteile

a_{1}, a_{2},

usw. mit der jeweiligen Duration

D_{1}, D_{2},

usw. multipliziert. Alle einzelnen Marktwertanteile zusammen müssen den Gesamtmarktwert ergeben.

Weil das Portfolio in diesem Fall nur zwei unterschiedliche Anleihen enthält, verkürzt sich die Formel zu :

D_{p} = a_{1} \cdot D_{1} + a_{2} \cdot D_{2}

D_{1}

und

D_{2}

sind gegeben.

Die Marktwerte werden ermittelt, indem die zukünftigen Zahlungen auf den aktuellen Zeitpunkt abgezinst werden.

Weil es beim Zerobond keinen Kuponzins gibt, brauchen nur die 15Mio., die es nach 5 Jahren gibt, abgezinst werden.

Bei der Kuponanleihe müssen die jährlichen Zinszahlungen und die

10

Mio., die es nach

10

Jahren gibt, abgezinst werden.

Die Portfolioduration wird deshalb wie folgt berechnet:

D_{p} = \frac{Z}{N}

Z = (0,04 \cdot 10 \cdot 10^{6} \cdot \frac{{1,04}^{10} - 1}{0,04} + 10 \cdot 10^{6}) \cdot {1,04}^{- 10} \cdot 8,6142 + 15 \cdot 10^{6} \cdot {1,04}^{- 5} \cdot 5

N = (0,04 \cdot 10 \cdot 10^{6} \cdot \frac{{1,04}^{10} - 1}{0,04} + 10 \cdot 10^{6}) \cdot {1,04}^{- 10} + 15 \cdot 10^{6} \cdot {1,04}^{- 5}

Ich sehe gerade, dass außer der Duration auch der Kurswert der Anleihe 1 angegeben, wurde, so dass du dir diesen Teil der Berechnung sparen kannst.
Aber "Die Anleihe 1 hat

. .

. einen Kurswert von

123055

Mio Euro ..." kann ja wohl nicht stimmen.

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14:51 Uhr, 17.03.2019

Ach das war ein blöder Tippfehler von mir, meinte natürlich

12,3055

Mio Euro

Könnte ich dann auch einfach die Duration von der Anleihe 1 durch

N

teilen ? Also

\frac{8,6142}{N}

Enano

16:31 Uhr, 17.03.2019

"...meinte natürlich

12,3055

Mio Euro"

Bei der Kontrolle, ob ich auch auf diesen Kurswert komme, ist mir aufgefallen, dass meine beiden letzten Gleichungen noch einen Fehler enthalten: Ich habe versehentlich für Markt- und Kuponzinssatz den gleichen Wert in die Formel eingesetzt.
Die jeweils 1.

0,04

stimmt, alle anderen 4er, müssten durch

15

ersetzt werden. Das führt dann auch zum gleichen richtigen Ergebnis.

"Könnte ich dann auch einfach die Duration von der Anleihe 1 durch

N

teilen ? Also

\frac{8,6142}{N}

"

Ja, das könntest du in Deutschland ungestraft tun, aber das wäre nicht die Portfolioduration, nach der gefragt wurde. Siehe dir doch noch einmal an, was eine Portfolioduration ist und wie sie grundsätzlich berechnet wird. Da fehlt doch noch die Gewichtung. So sollte es stimmen:

D_{P} = \frac{12,3055 \cdot 8,6142 + 15 \cdot {1,015}^{- 5} \cdot 5}{12,3055 + 15 \cdot {1,015}^{- 5}}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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