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Durchführung Lagrange Funktion Mikroökonomie

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Tags: Lagrange, Lagrange-Methode, mikro, Mikroökonomie, Sonstig

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16:58 Uhr, 27.04.2016

Hey,

hab hier 2 Aufgaben aus der Mikro wo man das Lagrange Verfahren anwenden soll.

1. Aufgabe:

Gegeben ist die Nutzenfunktion:

U (C; F) = (C - 40) \cdot (F - 40)

und die Restriktion:

y = P \cdot C + W \cdot F

Hab nun die Lagrange Funktion aufgestellt:

F = (C - 40) \cdot (F - 40) + λ \cdot (y - P \cdot C - W \cdot P)

und die beiden Ableitungen:

\frac{δ F}{δ C} = F - 40 - λ \cdot P

\frac{δ F}{δ F} = C - 40 - λ \cdot W

Durch zusammenfassen komm ich nun auf:

\frac{F - 40}{C - 40} = \frac{P}{W}

Dort setze ich nun die Restriktion ein:

\frac{F - 40}{(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40} = \frac{P}{W}

und löse das ganze nach

F

auf und komm auf:

F = \frac{1}{2} \cdot \frac{Y}{W}

Okay so weit bin ich denke ich hab ich eigentlich alles richtig gemacht, aber jezt kommt die zweite Aufgabe die änhlich gestaltet ist:

Gegeben ist die Nutzenfunktion:

U (C; F) = C \cdot F

und wieder die Restriktion:

y = P \cdot C + W \cdot F

Also wieder Lagrange:

L = C \cdot F + λ \cdot (y - P \cdot C - W \cdot P)

und die Ableitungen:

\frac{δ F}{δ C} = F - λ \cdot P

\frac{δ F}{δ F} = C - λ \cdot W

und zusammenfassen ergibt:

\frac{F}{C} = \frac{P}{W}

Wieder einsetzen der Restriktion:

\frac{F}{\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F} = \frac{P}{W}

und nun kommts, wenn ich das nach

F

auflöse komm ich wieder auf

F = \frac{1}{2} \cdot \frac{Y}{W}

?

Danke für eure Hilfe schonmal!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Yokozuna aktiv_icon

17:50 Uhr, 27.04.2016

Hallo,

wenn man

\frac{F - 40}{(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40} = \frac{P}{W}

nach

F

auflöst, dann kommt nicht

\frac{1}{2} \cdot \frac{Y}{W}

heraus!

Rechne das nochmal nach.

Viele Grüße
Yokozuna

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19:03 Uhr, 27.04.2016

Okay, hab nochmal nachgerechnet, komme jezt auf das gruslige Ergebnis von:

F = \frac{40 \frac{Y}{W} + 40}{39}

Hier vielleicht nochmal meine Schritte:

\frac{F - 40}{(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40} = \frac{P}{W}

\frac{F - 40}{- 40} = \frac{P}{W} \cdot (\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F)

\frac{F - 40}{- 40} = \frac{Y}{W} - F

F - 40 = \frac{Y}{W} - F \cdot (- 40)

F - 40 = - 40 \frac{Y}{W} + 40 F

- 39 F - 40 = - 40 \frac{Y}{W}

- 39 F = - 40 \frac{Y}{W} + 40

F = \frac{40 \frac{Y}{W} + 40}{39}

Yokozuna aktiv_icon

20:03 Uhr, 27.04.2016

Wenn man gruselig rechnet, dann ist das Ergebnis halt auch gruselig (Sorry, ich konnte dem Wortspiel nicht wiederstehen ;-) ). Du musst mit dem ganzen Nenner multiplizieren und nicht nur mit einem Teil davon (der Nenner besteht ja aus einer Differenz, den kann man nicht einfach so trennen, wie Du das gemacht hast):

\frac{F - 40}{(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40} = \frac{P}{W} \Rightarrow

F - 40 = \frac{P}{W} \cdot ((\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40)

Viele Grüße
Yokozuna

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22:44 Uhr, 27.04.2016

Okay

von

F

−

40 = \frac{P}{W} \cdot ((\frac{Y}{P}

−

\frac{W}{P} \cdot F)

−

40)

dann löse ich erst die innere klammer auf:

- 40 \cdot \frac{Y}{P} + 40 \frac{W}{P} \cdot F

und multiplizier das dann mit

\frac{P}{W}

- 40 \frac{Y}{W} + 40 F

und damit komme ich wieder auf das gleich ergebnis??

Yokozuna aktiv_icon

23:48 Uhr, 27.04.2016

Wenn da stünde

(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) \cdot (- 40)

dann wäre Deine Auflösung

- 40 \cdot \frac{Y}{P} + 40 \cdot \frac{W}{P} \cdot F

richtig.

Es steht aber da

(\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F) - 40 = \frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F - 40

Da vor der ersten Klammer implizit

+

steht, kann man die Klammer einfach weglassen. Entweder stehst Du da gerade auf der Leitung oder aber es fehlen Dir elementare mathematische Grundkenntnisse. Falls letzterer Fall zutrifft, solltest Du Dir unbedingt den Umgang mit Klammern noch mal anschauen.

Viele Grüße
Yokozuna

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11:33 Uhr, 28.04.2016

Genau das hab ich bei meinem aller ersten versuch gemacht wo ich auf das ergebnis im ersten post. Hab nochmal nach geschaut:

F - 40 = \frac{P}{W} \cdot (\frac{Y}{P} - \frac{W}{P} \cdot F - 40)

F - 40 = \frac{Y}{W} - F - 40 \cdot \frac{P}{W}

Hab hier weis ich leider nicht wirklich weiter mit der umformung. Mein TR gibt als loesung

F = \frac{1}{2} \cdot \frac{Y}{W} + 20

Yokozuna aktiv_icon

11:59 Uhr, 28.04.2016

Erstens ist die Lösung von Deinem Taschenrechner falsch. Vermutlich hast Du den Taschenrechner nicht richtig bedient oder Eingabefehler gemacht: garbage in garbage out.

Zweitens braucht man für so ein Problem weder Taschenrechner noch höhere Mathematik. Das Auflösen von Gleichungen sollte eigentlich von der Schule her bekannt sein:

F - 40 = \frac{Y}{W} - F - 40 \cdot \frac{P}{W} \Rightarrow 2 \cdot F = \frac{Y}{W} - 40 \cdot \frac{P}{W} + 40 \Rightarrow F = \frac{1}{2} \cdot (\frac{Y}{W} - 40 \cdot \frac{P}{W} + 40)

Das ist eigentlich schon die Lösung. Ich würde da noch

\frac{1}{W}

ausklammern, aber das ist Geschmackssache:

F = \frac{1}{2 \cdot W} \cdot (Y - 40 \cdot P + 40 \cdot W)

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14:15 Uhr, 28.04.2016

Okay danke dir!

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