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Durchmesser einer Menge (Aufgabe)

Universität / Fachhochschule

Tags: Durchmesser, Euklid, mengen, Metrik

daniel-- aktiv_icon

20:10 Uhr, 23.10.2022

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe bei der ich leider nicht weiß wie ich diese Berechnen soll.
Folgende Menge ist gegeben:

A := {(x, y) \in ℝ^{2}; 1 \leq ∣ x ∣ \leq 3, 2 \leq y \leq 4}

Ich soll den Durchmesser von

A

berechnen, sowohl in der euklidischen, als auch in der Maximumsmetrik. Die Metriken anzuwenden bekomme ich selber hin, jedoch brauche ich dafür zunächst den Durchmesser. Ich weiß aber nicht ob mein Ansatz richtig ist.

Ich hätte damit angefangen den Betrag aufzuteilen. Dadurch entsteht folgende Aufteilung für

x

- 3 \leq x \leq - 1 \land 1 \leq x \leq 3

Aber wie bestimme ich dann den Durchmesser?
Ist es einfach für

x = 4

und für

y = 2

, also

{(\binom{4}{2})}_{2}

und

{(\binom{4}{2})}_{\infty}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

20:35 Uhr, 23.10.2022

> Die Metriken anzuwenden bekomme ich selber hin, jedoch brauche ich dafür zunächst den Durchmesser

Das ist eine seltsame Formulierung, denn zur Bestimmung des Durchmessers benötigst du ja doch gerade die Metrik!!!

Der Durchmesser einer nichtleeren Menge

M

ist definiert als

sup_{u, v \in M} d (u, v)

mit Metrik

d

daniel-- aktiv_icon

20:40 Uhr, 23.10.2022

Ja, du hast recht. Das ergibt so wenig Sinn wie ich das gesagt habe.

Dennoch weiß ich nicht wie ich den Durchmesser berechne.
Auf die Definition habe ich eine halbe Stunde gestarrt und es ergibt sich für mich keine Anwendung an diesem Beispiel.

HAL9000

20:42 Uhr, 23.10.2022

Naja, beide deine Metriken basieren ja auf einer Norm, d.h.

d (u, v) = ∥ u - v ∥

. Im vorliegenden Fall ist der Durchmesser dann aber

∥ (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}) ∥

, basierend auf

(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array})

daniel-- aktiv_icon

20:47 Uhr, 23.10.2022

Eine Frage stellt sich mir dann aber noch.

Was machen ich mit dem "Loch" in der Definition von

x

x

ist ja schließlich nicht einfach

x \in [- 3; 3]

sondern

- 3 \leq x \leq - 1

und

1 \leq x \leq 3

Macht es dann nicht wenig Sinn

(\binom{3}{4}) - (\binom{- 3}{2})

zu rechnen?

HAL9000

20:57 Uhr, 23.10.2022

Denk doch nochmal über die o.g. Definition des Durchmessers nach. Und dann entscheide, ob du diese deine Frage nochmal stellen willst.

Oder noch deutlicher: Vielleicht bildest du dir ein, die obige Definition gilt nur für zusammenhängende Mengen

M

. Irrtum - befreie dich von dieser Einbildung.

daniel-- aktiv_icon

21:12 Uhr, 23.10.2022

Ich denke es ist mein Irrtum das ich glaubte, dass die o.g. Definition für zusammenhängende Mengen gilt. Gerade dieser Nachtrag hat mir sehr geholfen meinen Knoten im Kopf zu entknoten.

Vielen Dank, ich habe es jetzt verstanden :-D)

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