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Durchmesser einer Menge berechnen

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Mengentheoretische Topologie

ray11 aktiv_icon

13:19 Uhr, 01.04.2019

Hi, ich brauche wieder einmal etwas Verständnishilfe:

Es sei

(V, | | - | |)

ein normierter Raum. Der Durchmesser einer Menge

M \subset V

ist definiert als diam(M):= supremum

{

||x-y||:x,y

\in M}

.
Berechnen Sie den Durchmesser der Menge

M = {(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2} : x_{1}^{2} + \frac{1}{4} \cdot x_{2}^{2} \leq 1} \subset ℝ^{2}

bezüglich der p-Norm

{| | . | |}_{p}

auf

ℝ^{2}

für

p = 1,2, \infty

.

Zusatzfrage: Wie ändert sich der Durchmesser, wenn Sie die Menge

M

verschieben, wenn Sie also beispielsweise die Menge

M = {(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2} : {(x_{1} - 3)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(x_{2} + 7)}^{2} \leq 1} \subset ℝ^{2}

betrachten? Wie ändert sich der Durchmesser, wenn Sie die Menge

M

drehen, also

M = {(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2} : \frac{5}{8} \cdot x_{1}^{2} + \frac{3}{4} x_{1} x_{2} + \frac{5}{8} \cdot x_{2}^{2} \leq 1} \subset ℝ^{2}

betrachten?

Ich habe die Mengen in GeoGebra gezeichnet und es ist sofort klar dass der Durchmesser bei der 2-Norm 4 ist und dass sich dieser beim Verschieben oder Drehen der Menge nicht ändert.
Nun zum Rechnen: Wenn ich den Durchmesser laut Definition berechne mit

| | x - y | | \Rightarrow | | (0, - 2) - (0,2) | | = | | (0, - 4) | | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}} = 4

.

Die Frage ist nur wie würde ich rechnerisch drauf kommen dass ich

(0, - 2)

und

(0,2)

benutzen muss?
Und wie funktioniert das bei den anderen Normen(1,

\infty)

?
Kann man die Zusatzfrage auch rechnerisch beantworten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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