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Durchschnitt 2er Mengen im Lebesgue maß

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Droggelbecher1 aktiv_icon

12:22 Uhr, 10.11.2019

Wie kann ich

λ (A

geschnitten

B)

ausdrücken?

Ich weiß, dass man den Durchschnitt mithilfe von Differenz und Vereinigung umschreiben kann.
Aber mein Problem ist, dass ich dann keine disjunkte Vereinigung gegeben habe... das heißt ich kann

Σ

additivität nicht anwenden...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

13:18 Uhr, 10.11.2019

Hallo,
du kannst

A \cup B

disjunkt zerlegen:

A \cup B = (A \ (A \cap B)) \dot{\cup} (B \ (A \cap B)) \dot{\cup} (A \cap B)

.
Gruß ermanus

Droggelbecher1 aktiv_icon

13:53 Uhr, 10.11.2019

Dann habe ich aber wieder den Durchschnitt drin... und ich weiß nicht, wie ich den Durchschnitt im Lebesgue maß zerlegen kann... so dass immer nur

λ (A)

und

λ (B)

dasteht

HAL9000

14:00 Uhr, 10.11.2019

> Ich weiß, dass man den Durchschnitt mithilfe von Differenz und Vereinigung umschreiben kann.

Falls du darüber hinaus irgendwie beabsichtigst,

λ (A \cap B)

alleine mittels

λ (A)

und

λ (B)

ausdrücken zu wollen:

Vergiss es, das geht nicht ohne Zusatzinformationen zur Struktur von

A

und

B

. Lediglich

0 \leq λ (A \cap B) \leq min {λ (A), λ (B)}

ist allgemeingültig.

ermanus aktiv_icon

14:01 Uhr, 10.11.2019

Nun, es ist

λ (A \ (A \cap B)) = λ (A) - λ (A \cap B)

; denn

A = (A \ (A \cap B)) \dot{\cup} (A \cap B)

.

HAL9000 hat natürlich Recht, du kannst aber

λ (A \cap B)

als Ausdruck in

λ (A), λ (B), λ (A \cup B)

darstellen. Und vielleicht hast du
das ja gemeint?

HAL9000

14:28 Uhr, 10.11.2019

@ermanus

Ich war beim oberflächlichen Lesen von

> Ich weiß, dass man den Durchschnitt mithilfe von Differenz und Vereinigung umschreiben kann.

davon ausgegangen, dass Droggelbecher1 diese Gleichung mit

λ (A \cap B), λ (A \cup B), λ (A), λ (B)

schon kennt - aber da war ich vielleicht voreilig. ;-)

ermanus aktiv_icon

14:39 Uhr, 10.11.2019

@HAL9000: mal sehen, was Droggelbecher1 uns zur Aufklärung des Falles
noch hoffentlich mitteilen mag ;-)

Droggelbecher1 aktiv_icon

15:05 Uhr, 10.11.2019

Konrkret geht es darum, dass ich zeigen soll, dass lambda((h^-1(

[

0,x])Geschnitten

g^{- 1} ([0, y]))

mit den lambdatreuen Abbildungen

h, g

wieder eine copula ist.

Ich wollte den Durchschnitt umschreiben und das ganze mithilfe von sigmaadditivität auseinander ziehen... aber meine Mengen sind nicht pwdisjunkt.

Sorry, dass ich mich etwas verspätet zurückmelde - war grade noch unterwegs...

HAL9000

20:46 Uhr, 10.11.2019

Da ich weder weiß, was eine lambdatreue Abbildung noch was eine Copula ist (und auch keine Lust auf lange eigene Recherchen dazu habe), muss ich an der Stelle passen. Vielleicht kannst du ja auch ohne dieses ganze Brimborium deutlich machen, was du hier mit dem Maß des Durchschnitts vorhast?

Droggelbecher1 aktiv_icon

23:48 Uhr, 10.11.2019

Lambdatreu bedeutet nur, dass

λ (h^{- 1} (E)) = λ (E)

Aber um diese Eigenschaft anwenden zu können, müsste ich erstmal diesen Durchschnitt dazwischen wegbekommen, oder?

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