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Durchschnitt, Indexmenge

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Sonstiges

Tags: Durchschnitt, Indexmenge, Mengenlehre, Sonstiges

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12:20 Uhr, 23.10.2009

Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Bestimme:

$\cap_{n \in N} {q \in Q | 2 - \frac{1}{n} \leq q² \leq 2 + \frac{1}{n}}$

hat irgendjemand ein Plan? Uns wurde nur eine trockene Definition der Indexmenge gegeben die ich übrigens auch nicht sonderlich verstehe.

Kann mir jemand helfen und sagen was und wie ich es bestimmen soll?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Rentnerin

13:05 Uhr, 23.10.2009

Hallo,

Du hast einen Durchschnitt von unendlich vielen Mengen. Da

2 - \frac{1}{n} \leq x \leq 2 + \frac{1}{n}

ein Intervall der Länge

\frac{2}{n}

ist, unterschreiten die Intervalllängen jede beliebige positive Zahl. Es können damit keine Zahlen

x

außer der Zahl 2 in allen Intervallen enthalten sein.
Auf Dein Beispiel angewandt können keine

q^{2}

außer

q^{2} = 2

in allen Intervallen enthalten sein. Aber es gibt kein

q \in Q

mit

q^{2} = 2

und damit ist der unendliche Durchschnitt die leere Menge.

Gruß Rentnerin

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13:11 Uhr, 23.10.2009

Ok... den zweiten Teil deiner Aussage verstehe ich.

Aber:

1. Wie komme ich auf ein Intervall der Länge 2/n? Liegt es daran dass auf beiden seiten $\pm \frac{1}{n}$ steht?

2."unterschreiten die Intervalllängen jede beliebige positive Zahl" kannst du es mir irgendwie näher bringen? Ich kann mir nichts drunter vorstellen

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13:18 Uhr, 23.10.2009

Und wie sieht es aus wenn ich beides habe: Schnitt und Vereinigung? Wie soll ich das deuten?

$\underset{n \in N}{\cap} \underset{m \in N}{\cup} {(2 m + 1) 2^{- n}}$

Rentnerin

13:37 Uhr, 23.10.2009

Zu 1.
Richtig:

2 + \frac{1}{n} - (2 - \frac{1}{n}) = \frac{2}{n}

Zu 2.
Die Intervalllängen bilden eine Folge

l_{n} = \frac{2}{n}

und diese Folge konvergiert streng monoton fallend gegen 0. Damit kann nur der gemeinsame Mittelpunkt aller Intervalle in jedem Intervall enthalten sein.

Zu Deiner anderen Frage:

\cup_{m \in N} ((2 m + 1) 2^{- n})

handelt es sich für festes

n \in N

um alle Brüche mit ungeradem Zähler und einer Zweierpotenz im Nenner, also z.B. für

n = 5

{\frac{1}{32}, \frac{3}{32}, \frac{5}{32} . . .}

.
Für unterschiedliche

n

sind diese Mengen disjunkt. Warum und was folgt daraus für den Durchschnitt?

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13:56 Uhr, 23.10.2009

Also.. wenn der Nenner nun auch beweglich wird, wird man Mengen mit unterschliedlichen Elementen haben. Und da sie nichts gemeinsam haben werden sie disjunkt sein und der Durchschnitt wird eine leere Menge sein.

Richtig?

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14:02 Uhr, 23.10.2009

Dann noch eine Frage:

ist das denn nun richtig?

$\underset{n \in N}{\cap} {q \in Q | | q | < 2 + \frac{1}{n}} q < 2 + \frac{1}{n} - q > 2 + \frac{1}{n} \Rightarrow q < - 2 - \frac{1}{n} (- \infty, 2)$

Stimmt das?

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14:11 Uhr, 23.10.2009

Noch ein letztes Beispiel:

$\underset{n \in N}{\cap} \underset{m \in N}{\cup} {m 2^{- n}}$

da wäre die Durchschnittsmenge wiede eine leere Menge richtig?

Rentnerin

14:19 Uhr, 23.10.2009

Der Grund, warum für unterschiedliche

2^{- n_{1}} = 2^{- n_{2}}

die Mengen disjunkt sind, ist nicht richtig beantwortet. Angenommen es gäbe zwei Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, also (O.B.d.A.

n_{2} > n_{1}

)

\frac{2 m_{1} + 1}{2^{n_{1}}} = \frac{2 m_{2} + 1}{2^{n_{2}}} \Leftrightarrow 2^{n_{2}} \cdot (2 m_{1} + 1) = 2^{n_{1}} \cdot (2 m_{2} + 1) \Leftrightarrow 2^{n_{2} - n_{1}} \cdot (2 m_{1} + 1) = 2 m_{2} + 1

,
dann stünde zum Schluss auf der linken Seite eine gerade Zahl, da

n_{2} - n_{1} > 0

ist, und auf der rechten Seite eine ungerade Zahl.

{q \in Q ∣ ∣ q ∣ < 2 + \frac{1}{n}} =] - 2 - \frac{1}{n}, 2 + \frac{1}{n} [

und damit ist der unendliche Durchschnitt gleich

[- 2; 2]

Rentnerin

14:23 Uhr, 23.10.2009

Falsch! Für

m = 2^{n}

gilt

\frac{m}{2^{n}} = 1

. Am besten Du schreibst Dir für die ersten fünf natürlichen Zahlen die Mengen auf. Was stellst Du fest?

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00:15 Uhr, 24.10.2009

Ok, also ich habe mir Paar Beispiele aufgeschrieben und bemerkt, dass 1/2, 1/4 und 1/8 2 mal vorkommt. also gibt es gemeinsame elemente. könnte man also die lösung als $\frac{1}{2^{n}}$ schreiben?

Wieso hast du es als m=2^n umgeschrieben? Kann man es einfach so tun?

Rentnerin

08:16 Uhr, 24.10.2009

Scheinbar hast Du doch noch nicht verstanden, nach welcher Gesetzmäßigkeit zu rechnen ist. Bei

\cap_{n \in N} \cup_{m \in N} (\frac{m}{2^{n}})

ist zunächst für jedes

n \in N

eine Vereinigungsmenge zu bilden:

n = 1

liefert

N_{1} = {\frac{1}{2}, \frac{2}{2} = 1, \frac{3}{2}, \frac{4}{2} = 2, \frac{5}{2}, \frac{6}{2} = 3, \frac{7}{2}, . . .}

n = 2

liefert

N_{2} = {\frac{1}{4}, \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4} = 1, \frac{5}{4}, \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \frac{7}{4}, . . .}

n = 3

liefert

N_{3} = {\frac{1}{8}, \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{6}{8} = \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, . . .}

.

In welcher Beziehung stehen denn die Mengen

N_{1}, N_{2}, N_{3}, . . .

zueinander?

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10:38 Uhr, 24.10.2009

Naja.... wenn man sich die Elemente anschaut dann werden sie jeweils von menge zu menge halbiert. Ist es die Beziehung um die es dir geht?

Rentnerin

11:30 Uhr, 24.10.2009

Es geht genauer:

N_{1} \subset N_{2} \subset N_{3} \subset . . . . . \Rightarrow \cap_{n \in N} (N_{n}) = N_{1}

ankasztaj aktiv_icon

11:44 Uhr, 24.10.2009

Du hast recht! Mensch! Dass ich es nicht gesehen habe. Genial!

Vielen Lieben Dank!

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