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Durchschnitt jeder Untergruppe U gUg^(-1) Normal

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Normalteiler, Unterguppe

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11:25 Uhr, 10.11.2014

Zeigen Sie: Fuer jede Untergruppe

U

einer Gruppe

G

ist

⋂ g U g^{- 1}

mit

g \in G

ein Normalteiler von G.

Ich weisz, dass ich fuer den Nachweis eines Normalteilers beweisen muss, dass

g U g^{- 1} = U

bzw.

g U = U g

ist.

Ich muss gestehen, dass ich jetzt schon in dieser Aufgabe nicht weiter komme. Um Tipps, wie ich da rangehen muss, waere ich sehr dankbar.

Lieben Grusz

Paul.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 10.11.2014

Es würde helfen, wenn Du beim Schnitt genau schreiben würdest, über welche Mengen er geht.
Ist dies

\cap_{g \in G} g U g^{- 1}

gemeint oder dies

\cap_{u \in U} g U g^{- 1}

michaL aktiv_icon

11:46 Uhr, 10.11.2014

Hallo,

ok,

g N g^{- 1} \subseteq N \forall g \in G

reicht, damit ein

N

ein Normalteiler von

G

ist.

Also beginne nach Standard: Sei

g \in G

. Was ist mit

g N g^{- 1}

, wobei

N := ⋂_{g \in G} g U g^{- 1}

?

Mfg Michael

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13:26 Uhr, 10.11.2014

Gemeint ist

⋂_{g \in G} g U g^{- 1}

OhMeinP aktiv_icon

13:45 Uhr, 10.11.2014

Also: dass es reicht

g N g^{- 1} \subseteq N

zu zeigen, folgt aus der Gleichung:

g N g^{- 1} \subseteq N \Leftrightarrow g^{- 1} g N g^{- 1} g \subseteq g^{- 1} N g \Leftrightarrow N \subseteq g^{- 1} N g

wegen

\forall g \in G

insbesondere für

g^{- 1} \Rightarrow N \subseteq {(g^{- 1})}^{- 1} N g^{- 1} = g N g^{- 1}

also muss ich zeigen, dass

⋂_{g \in G} g U g^{- 1} \subseteq U

ist?

Ich habe immer noch Schwierigkeiten, welche Elemente mit der Menge eigentlich gemeint sein sollen. Wenn ich den Schnitt dieser Menge

g U g^{- 1}

betrachte, sind doch alle

g_{i} U g_{i}^{- 1}

enthalten, für die gilt:

g_{1} U g_{i}^{- 1} = g_{2} U g_{2}^{- 1} = ... . = g_{i} U g_{i}^{- 1} \forall g_{i} \in G

mit

i \in ℕ,

richtig?

Ich bin mir noch unsicher bei dem Ansatz, den du mir vorschlägst michaL. Demnach müsste ich doch zeigen, dass, wenn

g N g^{- 1} \subseteq N

sein soll und

N := ⋂_{g \in G} g U g^{- 1},

dass

g g U g^{- 1} g^{- 1} \in N

ist, oder?

michaL aktiv_icon

16:31 Uhr, 10.11.2014

Hallo,

beginne so, wie es die Definition verlangt (es sei denn, ihr habt einen Satz/ein Lemma/Theorem,dass genau auf diese Situation passt)!

Unser Prof hatte damals so eine minimalistische Haltung, d.h. die Definitionen haben meist nur ein minimales Axiomensystem gehabt. Mit den Sätzen (et al) haben wir dann weiteres bewiesen.

Der langen Rede kurzer Sinn: Unsere Definition von Normalteiler

N

einer Gruppe

G

war:
Wenn für alle

g \in G

gilt:

g N g^{- 1} \subseteq N

Also beginnst du GENAU damit:
Sei ein

g \in G

beliebig. (Nicht schwer, tut auch noch nicht weh.)
Nun beguckst du dir

g N g^{- 1}

. Gilt denn

g N g^{- 1} \subseteq N

? Wenn ja, warum?

Mfg MIchael

PS: Das ist im Wesentlichen das, was ich vorhin schon schrieb, nur ausführlicher.

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17:17 Uhr, 10.11.2014

Ja aber genau da stehe ich ja irgndwie auf dem Schlauch. Wenn

N := ⋂_{g \in G} g U g^{- 1},

muss ich zeigen, dass wenn ich das mit

g

und

g^{- 1}

Verknüpfe, dass wieder eine Teilmenge von

⋂_{g \in G} g U g^{- 1}

ist:

g ⋄ ⋂_{g \in G} g U g^{- 1} ⋄ g^{- 1} \subseteq ⋂_{g \in G} g U g^{- 1}

. Oder? Wie mache ich das?

michaL aktiv_icon

17:25 Uhr, 10.11.2014

Hallo,

> Wenn N:=⋂g∈GgUg−1, muss ich zeigen, dass wenn ich das mit g und g−1 Verknüpfe, dass wieder eine Teilmenge von ⋂g∈GgUg−1 ist

Richtig. Was also ist zu tun? Du musst eine Mengeninklusion des Typs

A \subseteq B

beweisen. We macht man das? Indem man zeigt, dass für alle

x \in A

AUCH

x \in B

gilt.

Sei also

x \in N

g \in G

. Zeige, dass

g x g^{- 1} \in N

gilt.

Mfg MIchael

EDIT: Typo

OhMeinP aktiv_icon

10:41 Uhr, 13.11.2014

Ich krieg den Punkt immer noch nicht. Magst du mir sonst die Lösung sagen, da ich diesen blöden Uebungszettel heute abgeben muss, und ich versuch mich reinzufuchsne und stell dir fragen bei allem, was ich nicht verstehe?

. .

.

Vielen Dank

Paul.

DrBoogie aktiv_icon

11:29 Uhr, 13.11.2014

Also, gegeben

h \in G

x \in N = \cap_{g \in G} g U g^{- 1}

. Wie müssen zeigen, dass

h x h^{- 1} \in N

gilt.

Sei

g

aus

G

beliebig.

x \in \cap_{g \in G} g U g^{- 1} = > x \in g U g^{- 1}

für dieses konkrete

g

x = g u g^{- 1}

für ein

u

aus

U

h x h^{- 1} = h g u g^{- 1} h^{- 1} = (h g) u (h g)^{- 1} \in (h g) U (h g)^{- 1} \subset N

.
Also

h x h^{- 1} \in N

bewiesen.

OhMeinP aktiv_icon

14:19 Uhr, 13.11.2014

Vielen Dank. Das mit dem Schnitt und wie ich das dann nicht mehr als Menge sondern ein konkretes Element aufschreiben kann, was dann in dem Schnitt enthalten ist, bricht mir immer wieder das Genick. So scheint es mir dann recht plausibel zu sein.

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