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Durchschnitt messbarer Mengen

Universität / Fachhochschule

Tags: mengen, messbar

yellowman

11:05 Uhr, 10.12.2016

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:

Zeige: Der Durchschnitt

D

abzählbar vieler messbarer Mengen

A_{1}, A_{2}, . . .

R^{n}

ist messbar.

Meine Ideen:

Ich weiß das wenn

A_{1}, A_{2}, . . .

messbar, so ist auch deren Vereinigung messbar. Es gilt:

μ (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup . . .)

messbar.

Nach dem Additionssatz (Heißt der so?) gilt dann:

μ (A_{1} \cap A_{2} \cap . . .) = μ (A_{1} \cup A_{2} \cup . . .) - μ (A_{1}) - μ (A_{2}) - . . .

Damit ist der Durschnitt abzählbar vieler messbarer Mengen messbar. Kann ich das so machen?

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:37 Uhr, 10.12.2016

"Nach dem Additionssatz (Heißt der so?) gilt dann"

So einen wie Du ihn schreibst, gibt's nicht.
Es gibt das hier:
de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion
Das nützt aber nicht so sehr.

Und ich verstehe die Aufgabe nicht. Dass die Schnitte von messbaren Mengen messbar sind, ist doch die Definition. Oder was für die Definition hattet Ihr?

yellowman

13:08 Uhr, 10.12.2016

Hallo, wir arbeiten mit dem Königsberger und dort steht als Rechenregel:

Sind

A

und

B

meßbare Mengen so gilt:

A \cap B

und

A \cup B

sind meßbar und es ist

v (A \cup B) = v (A) + v (B) - v (A \cap B)

Im Fall

v (A \cap B) = 0

gilt insbesondere

v (A \cup B) = v (A) + v (B)

Beweis:

Es ergibt sich aufgrund der Rechenregeln für das Integrals aus

1_{A \cap B} = 1_{A} \cdot 1_{B}

und

1_{A \cup B} = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A \cap B}

Induktiv zeigt man weiter: Die Vereinigung

A = A_{1} \cup . . . \cup A_{k}

endlich vieler meßbarer Mengen ist ebenfalls meßbar. ist zusätzlich

v (A_{i} \cap A_{j}) = 0

für alle

i \neq j

so hat

A

das Maß

v (A) = v (A_{1}) + . . . + v (A_{k})

Das habe ich mir soweit etwas zusammen gesucht aus dem Buch. Der Beweis ist doch mit Treppenfunktionen geführt worden und die Regel sieht mir nach dieser Inklusionsregel aus?

Viele Grüße

DrBoogie aktiv_icon

13:14 Uhr, 10.12.2016

"Hallo, wir arbeiten mit dem Königsberger und dort steht als Rechenregel:"

Das reicht nicht. Um etwas über abzählbar viele Mengen sagen zu können, brauchst Du auch eine Definition, wo etwas über abzählbar viele Mengen steht.
Normalerweise ist Meßbarkeit so definiert:
de.wikipedia.org/wiki/Messraum_(Mathematik)

Also, meßbar sind Mengen aus einer

σ

-Algebra, damit gilt automatisch, dass auch abzählbare Schnitt von meßbaren Mengen auch meßbar sind.

yellowman

13:19 Uhr, 10.12.2016

Wir haben die Meßbarkeit folgendermaßen definiert:

Eine Menge

A \subset R^{n}

heißt Lebesgue-meßbar kurz meßbar, wenn die Funktion

1

über

A

integrierbar ist. Die Zahl

v_{n} (A) = \int_{A} 1 d^{n} x

heißt dann das

n

dimensionale Volumen oder Lebesgue Maß von

A

. Im Fall

n = 2

nennt man sie auch den Flächeninhalt von

A

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 10.12.2016

Dann ist es bei Euch keine allgemeine Meßbarkeit, sondern nur Lebesgue-Meßbarkeit.

Nun, zu zeigen, dass Lebesgue-Maß wirklich ein Maß ist, ist alles andere als einfach.
Kannst z.B. hier darüber nachlesen:
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~kanzow/analysis3/Kapitel19.pdf

Eventuell geht es bei Dir schneller, wenn Ihr schon irgendeine Sätze über Lebesgue-Integrale beweisen habt.

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