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Durchschnitt von 2 Unterräumen
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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Hallo, habe eine Frage! Wie bilde ich den Durschnitt von 2 Unterräumen also Vektorräumen? Wenn ich z.B. den Durschnitt von {(4,-3,2,0),(7,0,5,3)} und {(2,-5,3,1),(5,-2,6,4),(7,-7,9,5)} bilden soll. Wenigstens ein Ansatz wäre schön. Mein 2. Problem ist dann, die Basis dieses Durchschnitts zu bestimmen? Dazu hab ich nochmal eine Frage, was der Unterschied zwischen der Basis und dem Erzeugenden System ist? Bin euch sehr dankbar für eure Hilfe!!! |
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(1) Ansatz: Durchschnitt bedeutet ja elementweise UND. Letzteres gilt auch für die Bedingungen eines Gleichungssystemes. (2) Kandidaten für eine Basis sind die Erzeugenden (Spalten der Matrix aus (1)). Erzeugende müssen nicht lin.unabhängig sein... Sind sie es, so ist die Minimalanzahl erreicht, d.h. nimmt man irgendwo einen weg (bleiben sie l.u.) verlieren sie die Eigenschaft des `Erzeugens`. - Dies zeigt auch, dass zuwenig l.u. Vektoren einen gegebenen Raum noch nicht erzeugen müssen. Man kann ihn aber durch weitere l.u. Vektoren ergänzen. Fügt man weitere Vektoren hinzu, verliert dieses System die Eigenschaft ´l.u.` zu sein. Es bleibt jedoch erzeugend. => Basis = l.u. PLUS erzeugend Unterschied zw. Basis und Erzeugendensystem ist also die lin.Unabhängigkeit. |
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Hallo, zunächst erkennt man, daß das Erzeugendensystem des zweiten Raumes keine Basis ist! Der letzte Vektor ist die Summe der beiden ersten Vektoren. Um Durchschnitte und Vereinigungen zu berechnen, nimmt man der Einfachheit halber besser eine Basis. Was ist eine Basis? Eine Basis ist ein Erzeugendensystem, bei dem alle Vektoren linear unabhängig sind! Aus einem Erzeugendensystem mach man eine Basis, indem man aus einer linear abhängigen Teilmenge einen der linear abhängigen Vektoren einfach wegläßt. Also lassen wir von dem zweiten Erzeugendensystem einfach den letzten Vektor weg. Die verbleibenden Vektoren sind wie die Vektoren des ersten Erzeugendensystems linear unabhängig, bilden also eine Basis. Wie suchen nun Vektoren, die sich sowohl als Linearkombination der einen Basis, als auch als Linearkombination der anderen Basis darstellen lassen. In Komponentenschreibweise bedeutet dies: 4*a + 7*b = 2*c + 5*d -3*a + 0*b = -5*c - 2*d 2*a + 5*b = 3*c + 6*d 0*a + 3*b = 1*c + 4*d 2. und 4. Gleichung: a = 5/3*c + 2/3*d b = 1/3*c + 4/3*d Einsetzen in 1. und 3. Gleichung 20/3*c + 8/3*d + 7/3*c + 28/3*d = 2*c + 5*d 10/3*c + 4/3*d + 5/3*c + 20/3*d = 3*c + 6*d 9*c + 12*d = 2*c + 5*d 5*c + 8*d = 3*c + 6*d 7*c + 7*d = 0 2*c + 2*d = 0 c + d = 0 Es liegen also alle Vektoren im Durchschnitt, für die die Parameter c und d in Summe Null ergeben. Der Unterraum ist also eindimensional, denn von den 2 vorhandenen Dimensionen (die Basis hatte 2 Vektoren), geht durch die Einschränkung c+d=0 eine verloren. Zur Kontrolle: 4*a + 7*b = 2*c + 5*d = 2*c + 2*d + 3*d = 2*(c + d) + 3*d = 2*0 + 3*d = 3*d 2*a + 5*b = 3*c + 6*d = 3*c + 3*d + 3*d = 3*(c + d) + 3*d = 3*0 + 3*d = 3*d 4*a + 7*b = 2*a + 5*b 2*a + 2*b = 0 a + b = 0 Auch hier geht eine Dimension verloren (selbe Begründung). Welche Vektoren liegen also in diesem Raum, wählen wir einfach mal a=1 und b=-1 und c=1 und d=-1, erhalten wir jeweils (-3,-3,-3,-3). Dieser Vektor ist natürlich als alleiniger Vektor linear unabhängig und somit schon eine Basis des Durchschnitts, aber schöner sieht das (-1/3)-fache (1,1,1,1) als Basis aus. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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