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Durchscnitt von Mengen beweisen mit Indexmenge

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Gruppen, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit

LeoKon aktiv_icon

17:04 Uhr, 22.10.2017

Hallo,

Ich habe das Skript unserer Vorlesung unten angehängt. Auf Seite 4 findet sich das Lemma

1.1.7,

wo mit Indexmengen hantiert wird. Den anschließenden Beweis kann ich leider nicht wirklich nachvollziehen, vor allem verstehe ich nicht, wo die Teilmenge Xj herkommt, wo doch der Index nur über

i

läuft.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:05 Uhr, 22.10.2017

Hallo,

> Den anschließenden Beweis kann ich leider nicht wirklich nachvollziehen, vor allem verstehe ich nicht, wo die
> Teilmenge Xj herkommt

Ok, das beleuchten wir gleich.

> ... wo doch der Index nur über i läuft.

Nun, das bedeutet, dass du die Sache mit den Variablen nicht wirklich verstanden hast.
Es wird sozusagen eine "Laufvariable" verwendet, die (nacheinander) alle In

I

vorkommenden "Werte" annimmt. Wie die heißt, ist nebensächlich. Wenn ich jetzt von einem speziellen Element von

I

reden möchte, kann ich

i

nicht gut verwenden, da ich den Namen (und nichts anderes ist das) schon für die Laufvariable verwendet habe.

j

wird von uns einfallslosen Mathematikern deshalb genommen, da wir
* was naheliegendes aber
* nicht das gleiche brauchen.
Naheliegend (im Alphabet) ist eben

j

.

Ok, nun zum Beweis. Du sagtest oben:

> Den anschließenden Beweis kann ich leider nicht wirklich nachvollziehen, vor allem verstehe ich nicht, wo die
> Teilmenge Xj herkommt

Ich beziehe mich auf "

\subseteq

":
Gälte

x \in X_{k}

für jedes

k \in I

, so hieße das ja, dass

x \in ⋂_{i \in I} X_{i}

gälte. (Klar, oder?)
Dann könnte

x

aber nicht im Komplement dieser Menge liegen, d.h. es gälte

x \notin X \ (⋂_{i \in I} X_{i})

, was aber zur Wahl von

x

im Widerspruch steht.
Und da so eine Situation in der Mathematik als ausgeschlossen angesehen wird, muss das Gegenteil von
"

x \in X_{k}

für jedes

k \in I

"
gelten.
Es muss also (mindestens) ein spezielles Element von

I

geben - nennen wir dieses Element doch einfallslos

j \in I

-, sodass

x \notin X_{j}

gilt.

Alles klar?

Noch zwei Anmerkungen:
* Diese Arbeit, die "Lücken" im Beweis auszufüllen, ist gerade die, die man von euch Studenten erwartet. Anfangs erscheinen die Lücken größer als später, wenn ihr die mathematischen Methoden als "alte Hasen" schon drauf habt.
* Doch gerade die Lückenfüllerei ist offenbar anfangs nicht einfach, sodass du mitt echten mathematischen Fragen ein gern gesehener Gast in diesem Forum bist. Fühle dich bestätigt und aufgefordert, weiterhin solche Fragen hier zu stellen. Allerdings: Versuche es zuerst immer allein. (Damit du möglichst bald zu den alten Hasen gehörst!)

Mfg Michael

LeoKon aktiv_icon

09:52 Uhr, 23.10.2017

Hi
Danke erstmal für deine Antwort. Den Teil, welchen du mir erklärt hast verstehe ich jetzt. Leider verstehe ich noch nicht, wie man von

x

element

X X j

auf den teil danach kommt, also die vereinigung der

X Ξ

.
Ich komm mir irgendwie ziemlich dumm vor, sorry:(

michaL aktiv_icon

10:36 Uhr, 23.10.2017

Hallo,

hm, manchmal ist weniger mehr.
Ich ändere mal die "Namen" der Mengen. Für

X \ X_{j}

schreibe ich

A

.

Du fragst nun so etwas wie:
Warum folgt aus

x \in A

, dass

x \in A \cup B \cup \dots

gilt?

Findest du die Antwort darauf allein?

Mfg Michael

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