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Dyadisches Produkt und Kreuzprodukt

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Determinanten, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, Sonstiges, Vektorraum

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10:50 Uhr, 24.09.2014

Hallo Leute,

ich habe Schwierigkeiten eine Aufgabe zu lösen und hoffe deshalb auf eure Unterstützung. Leider scheiter ich schon am Ansatz, da ich nicht weiß wie ich das Kreuzprodukt aus

B

und a lösen kann.

B

ist ein Tensor 2. Ordung und a einer 1. Ordung (Siehe Aufgabenbeschreibung). Für die ersten Lösungsansätze wäre ich sehr dankbar.

MfG, Robin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

anonymous

11:10 Uhr, 24.09.2014

Für das rechte Kreuzprodukt gilt:

(a \otimes b) \times c = a \otimes (b \times c)

Demnach ist:

(B_{m n} e_{m} \otimes e_{n}) \times (a_{i} e_{i})

= B_{m n} a_{i} ((e_{m} \otimes e_{n}) \times e_{i})

= B_{m n} a_{i} (e_{m} \otimes (e_{n} \times e_{i}))

Soweit klar?
Kommst du nun weiter?

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21:17 Uhr, 24.09.2014

Danke für die Antwort, kenkyu!
So richtig komme ich leider trotzdem nicht weiter. Kannst mir vielleicht noch

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weitere Schritte erklären? Das wär echt super!

anonymous

00:14 Uhr, 25.09.2014

Man kann dann noch das Kreuprodukt weiter vereinfachen:

B \times a

= B_{m n} a_{i} (e_{m} \otimes (e_{n} \times e_{i}))

= ɛ_{p n i} B_{m n} a_{i} (e_{m} \otimes e_{p})

Dann sollte für das Doppelpunkt-Produkt gelten:

(a \otimes b) : (c \otimes d) = (a \cdot c) \otimes (b \cdot d)

Für das rechte Punkt-Product gilt:

(a \otimes b) \cdot c = a \otimes (b \cdot c)

Also:

(b \otimes (B \times a)) : A

= (b \otimes (B \times a)) : (A_{k l} e_{k} \otimes e_{l})

= A_{k l} (b \cdot e_{k}) \otimes ((B \times a) \cdot e_{l})

= A_{k l} (b_{j} e_{j} \cdot e_{k}) \otimes (ɛ_{p n i} B_{m n} a_{i} (e_{m} \otimes e_{p}) \cdot e_{l})

= A_{k l} b_{j} ɛ_{p n i} B_{m n} a_{i} ((e_{j} \cdot e_{k}) \otimes ((e_{m} \otimes e_{p}) \cdot e_{l}))

= A_{k l} b_{j} ɛ_{p n i} B_{m n} a_{i} ((e_{j} \cdot e_{k}) \otimes (e_{m} \otimes (e_{p} \cdot e_{l})))

= A_{k l} b_{j} ɛ_{p n i} B_{m n} a_{i} ((δ_{j k} e_{k}) \otimes (e_{m} \otimes (δ_{p l} e_{l})))

= A_{k l} b_{k} ɛ_{l n i} B_{m n} a_{i} (e_{k} \otimes (e_{m} \otimes e_{l}))

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