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E(XY)=E(X)E(Y), Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Erwartungswert

stephen23456 aktiv_icon

18:30 Uhr, 23.09.2016

Hallo:-)

Ich komm nicht ganz weiter beim Beweis.

E (X Y) = E (X) E (Y)

E (X Y) = \sum x_{i} y_{i} p r o b (X Y = x_{i} y_{i})

Unabhängigkeit zwischen

X

und

Y

besagt:

E (X Y) = \sum x_{i} y_{i} p r o b (X = x_{i}) p r o b (Y = y_{i})

Nun müsste das Summenzeichen noch so aufgeteilt werden, dass

E (X Y) = \sum x_{i} p r o b (X = x_{i}) \sum p r o b (Y = y_{i}) = E (X) E (Y)

Warum kann ich das Summenzeichen in diesem Fall aufteilen?

Bei zwei anderen Zufallsvariablen ist dies doch auch nicht erlaubt:

z.B.

\sum x_{i} y_{i} = \sum x_{i} \sum y_{i}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

18:53 Uhr, 23.09.2016

Du musst statt

x_{i} y_{i}

in Wirklichkeit doch

x_{i} y_{j}

schreiben
und bekommst dann doch Doppelsummen über (i,j).
Gruß ermanus

stephen23456 aktiv_icon

19:04 Uhr, 23.09.2016

E (X Y) = \sum \sum x_{i} p r o b (X = x_{i}) y_{j} p r o b (Y = y_{j})

Das mit i und j ist vergessen gegangen.

Wieso erhalte ich nun Doppelsummen bzw. warum kann ich diese nun aufteilen? Bei zwei Zufallsvariablen erhalte ich diese auch nicht.

ermanus aktiv_icon

19:06 Uhr, 23.09.2016

Das sagt doch das Distributivgesetz.

stephen23456 aktiv_icon

19:14 Uhr, 23.09.2016

Ja, das ist mir klar. Aber woher kommt das zweite Summenzeichen? Ist dies, weil es nun zwei Erwartungswerte gibt durch die Unabhängigkeit von

X

und

Y

ermanus aktiv_icon

19:21 Uhr, 23.09.2016

So ist es. Die Werte die

X Y

annimmt, entstammen doch bzgl. ihrer
Kombinationen (Indices) dem kartesischen Produkt der
Werte von

X

und

Y

, und

X

und

Y

sind unabhängig.

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