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Ebene In xyz kordinatensystem einzeichnen

Schüler Berufsschulen,

Tags: Ebene, Vektor

scarlet12 aktiv_icon

20:47 Uhr, 03.02.2014

Hi

Kann jemand mir bitte helfen .
Wie ich diese Ebene in ein xyz Koordinatensystem einzeichne.

E = x = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Vielen Dank

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Ma-Ma aktiv_icon

21:14 Uhr, 03.02.2014

1.Schritt) Schulbuch zu diesem Thema aufschlagen.

2.Schritt) Koordinatensystem zeichnen

3.Schritt) Stützvektor

\vec{a}

bzw. Punkt

A (1 | 2 | 3)

einzeichnen.

4. Schritt) Von A aus die beiden anderen (Richtungs-)vektoren antragen.

5. Schritt) Die 3 Punkte verbinden.

Wie weit kommst Du ?

scarlet12 aktiv_icon

21:19 Uhr, 03.02.2014

Hi
In Buch steht nix davon.

Ma-Ma aktiv_icon

21:25 Uhr, 03.02.2014

Im Schulbuch habt Ihr kein Kapitel zu diesen Themen ?

Ebenengleichungen
Parametergleichung einer Ebene
Dreipunktegleichung einer Ebene

????

scarlet12 aktiv_icon

21:26 Uhr, 03.02.2014

Ja Aber ist nicht erklärt wie ich es rein zeichne.

Ma-Ma aktiv_icon

21:27 Uhr, 03.02.2014

Wie es geht, habe ich oben beschrieben.

Bekommst Du den Punkt

A

in das Koordinatensystem eingetragen ?

scarlet12 aktiv_icon

21:36 Uhr, 03.02.2014

A (1 | 2 | 3)

Also 1 für die

x

achse 2 nach oben Y-Achse und

z 3

nach ???

Ma-Ma aktiv_icon

21:38 Uhr, 03.02.2014

3 D -

Koordinatensystem:

x-Achse nach schräg links unten
y-Achse nach rechts
z-Achse nach oben

scarlet12 aktiv_icon

21:42 Uhr, 03.02.2014

Also 1 für die

x

achse schrag unten, 2 Y-Achse nach rechts und z-Achse 3 nach oben.

Ma-Ma aktiv_icon

21:43 Uhr, 03.02.2014

Korrekt.
Kannst gerne mal ein Bild als Zwischenergebnis posten.

scarlet12 aktiv_icon

21:52 Uhr, 03.02.2014

Habs mit paint gmeacht da ich kein Scnnaer habe

Danke

Ma-Ma aktiv_icon

22:01 Uhr, 03.02.2014

Sieht gut aus.
(Der Ortsvektor

\vec{a}

geht allerdings vom Koordinatenursprung aus.)

Punkt A (am Ende des Pfeils) hast Du also schon mal.

Nun von Punkt A aus die beiden anderen (Richtungsvektoren) einzeichnen.
Anschließend alle drei Eckpunkte verbinden.

scarlet12 aktiv_icon

22:10 Uhr, 03.02.2014

Das müsste es stimmen .

Danke

Ma-Ma aktiv_icon

22:17 Uhr, 03.02.2014

Grob gesehen, ja.
Sicherlich ist das auf Deiner Skizze auf Papier noch genauer.
LG Ma-Ma

Magst Du auf meine pn noch antworten ?

scarlet12 aktiv_icon

22:42 Uhr, 03.02.2014

Habe geantwortet was ist wenn da minus steht.

Danke

Ma-Ma aktiv_icon

22:50 Uhr, 03.02.2014

Wenn

z . B

. bei

z

ein minus steht, dann gehst Du nach unten.

Verlängere Deine

x -, y -

und z-Achse in den negativen Bereich. Dann kannst Du locker auch Minus-Werte antragen

. .

scarlet12 aktiv_icon

22:54 Uhr, 03.02.2014

OK Vielen Dank

Matlog aktiv_icon

01:08 Uhr, 04.02.2014

Eine beliebte Methode die Lage einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem zu veranschaulichen ist die Bestimmung der Spurpunkte. Das sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Diese kann man dann miteinander verbinden.
Habt Ihr schon mal die Spurpunkte einer Ebene berechnet?

Nebenbei: Die eingezeichneten Vektoren bzw. Punkte halte ich alle für falsch.
Die erste Komponente der Vektoren wird immer ignoriert.
Komplett falsch sind die eingezeichneten Richtungsvektoren. Seit wann zeigt ein Richtungsvektor

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

vom Stützpunkt (Aufpunkt) auf den Punkt

(3 | 4 | 1)

scarlet12 aktiv_icon

01:42 Uhr, 04.02.2014

Das waren ausgedachte punkte.

prodomo aktiv_icon

11:02 Uhr, 05.02.2014

Es gibt verschiedene Methoden, einen räumlichen Eindruck zu erzeugen. Im Bild siehst du eine häufig in Schulbüchern benutzte.
Die

x_{1} -

Achse wird im Winkel von

45

Grad schräg nach vorne links gelegt (also genau durch die Kästchendiagonalen, daher besonders einfach). Die

x_{2} -

Achse läuft nach rechts und die dritte nach oben. Während nach rechts und oben der normale Maßstab genommen wird, ist er auf der x_1-Achse verkürzt. Dort wird meistens 1 Kästchendiagonale

= 1

LE genommen, während sie in Wirklichkeit nur ca.

0,7

cm misst. Damit will man den räumlichen Effekt hervorrufen, dass weit entfernte Gegenstände kleiner erscheinen.
Um eine Ebene dort einzuzeichnen, mache dir zunächst klar, dass die Ebene eigentlich unendlich weit nach allen Seiten ausgedehnt ist. Da man das nicht zeichnen kann, zeichnet man oft nur einen Ausschnitt. Als kleinstmögliche Fläche kommt ein Dreieck in Frage. Hier

(s

. Antwort von matlog) benutzt man das Dreieck zwischen den Punkten, an denen die Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Das spielen wir mal mit deinem Beispiel durch.
Schnittpunkt mit der x_1-Achse: wie schon beim bekannten zweidimensionalen Koordinatensystem haben Punkte auf den Achsen nur eine von 0 verschiedene Koordinate, hier müsste der Punkt also

(a | 0 | 0)

sein. Das führt mit deiner Ebene zu

1 + 3 \cdot r + 3 \cdot s = a

2 + 4 \cdot r + s = 0

3 + r + 2 \cdot s = 0

Aus den beiden letzten Gleichungen kannst du

r

und

s

berechnen und dann damit mit der ersten Gleichung das a ausrechnen

(- \frac{26}{7})

. Ähnlich geht es dann mit

(0 | b | 0)

und

(0 | 0 | c)

weiter. Es ergibt sich

b = \frac{26}{3}

und

c = \frac{26}{9}

. Diese Punkte kannst du auf den Achsen leicht finden und dann das Dreieck aus ihnen zeichnen.

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