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Ebene aus drei Punkten

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Ebene aus drei Punkten

Tags: Ebene aus drei Punkten

fridoo aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.03.2010

Hallo ich hab nur eine kurze Frage
ich hab eine Aufgabe in der ich aus drei Punkten eine Ebene und dann die Hessesche Normalform ausrechnen soll...
die HNF kapier ich...aber ich weis nicht wie ich zu der Ebene komm wenn ich drei Punkte gegeben hab...
BSP:

A (1 | 1 | 5) B (9 | 1 | 1) C (11 | 4 | - 1)

wär toll wenns mir jemand schnell erklären könnte:-)
danke
frido

fridoo aktiv_icon

21:14 Uhr, 18.03.2010

ach ja und was ich auch nicht kapier wie ich wenn ich diese ebene in Koordinatenform gegeben habe sie in Parameterform umwandel und umgekehrt...

maxsymca

21:41 Uhr, 18.03.2010

Das ist eigentlich ganz einfach:
Parameterform

E : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}), \vec{b} = \vec{A B}

und

\vec{c} = \vec{A C}

Koordinatenform

E : \vec{n}

((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) - A) = 0, \vec{n}

Normalenvektor von

E

und A ein Punkt auf

E

\vec{n}

ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und für die Parameterform setzt du in der Koordinatenform beliebig 2 Koordinaten als Parameter fest und dann ist die Parameterform schon fertig

. .

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21:55 Uhr, 18.03.2010

D . h

. bei mir wär dann die Parameterform

E : (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 8 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 10 \\ 3 \\ - 6 \end{matrix})

und die Koordinatenform

E : (\begin{matrix} 18 \\ 3 \\ - 10 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) = 0

stimmt das?
dankeschön schon mal..
und wie komme ich auf die form?

n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + n_{3} x_{3} + n = 0

aber danke schon mal war echt hilfreich

maxsymca

22:21 Uhr, 18.03.2010

Die Parameterform is OK, aber Dein Normalenvektor passt net...
und Du wirst doch noch ein Skalarprodukt berechnen können, wen Du eines siehst?

fridoo aktiv_icon

22:26 Uhr, 18.03.2010

warum passt der normalenvektor nicht? was soll da rauskommen?
das mit dem skalarprodukt hab ich schon verstanden..da muss man ja nicht mal wirklich rechnen..

maxsymca

22:33 Uhr, 18.03.2010

Tja warum passt er net?
Dazu müsst ich wissen, was Du gerechnet hast...

fridoo aktiv_icon

22:38 Uhr, 18.03.2010