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Ebenen (Aufgaben, bei den ich verzweifle)

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: eben

pythagoras19 aktiv_icon

08:53 Uhr, 02.03.2012

ich verzweifle an diesen aufgaben. wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet

Aufgabe 3: Sportflugzeug und Pyramide

Ein Flugobjekt steuert auf eine Pyramide zu. Auf dem Radarbildschirm wird die letzte Position
des Flugobjektes mit

F (15008 | - 15010 | 25018)

beschrieben. Die Eckpunkte der Pyramide sind:
Spitze

S (0 | 0 | 12) A (6 | 0 | 0) B (0 | - 6 | 0) C (0 | 6 | 0) D (- 6 | 0 | 0)

. Sämtliche Angaben sind im
Maßstab

1 : 10 [m]

zu verstehen.
Zeige, dass sich der Ortungspunkt

F

auf einer Flugbahn befindet, die durch die Gerade

g : x = (8 | - 10 | 18) + t \cdot (- 3 | 3 | - 5)

DAS SOLL EINE GERADE bzw. EIN VEKTOR SEIN (leider bin ich nicht vertraut mit der schreibweise per eingabefeld)

beschrieben werden kann.

a)

Berechne die Entfernung des Punktes

F

von der Pyramidenspitze S.

b)

Untersuche, ob das Flugobjekt bei gleich bleibendem Kurs mit der Pyramide kollidiert und
beurteile gegebenenfalls die Lage des Treffpunkte

Aufgabe 4: Anflug auf Madeira
Der Anflug auf Madeira ist stets ein Abenteuer
Beim Anflug auf die Insel erblickt man die hohen Gipfel,

Π o

Arieiro und Pico Ruivo - meist mit einer dicken
Wolkendecke umgeben. Der Anflug geht über die
nordöstliche Ecke von Madeira, über hohe, schroffe
Felsen hinweg. Die Landebahn ist äußerst kurz und ragt
fast bis ins Meer. Daher ist der Landeanflug für die
Urlauber bereits ein kleines Abenteuer.
Ein Flugzeug wird im Punkt

P (1000 | 4000 | 1200)

geortet
(Einheiten in

m)

. Nach

5 s

befindet sich das Flugzeug im
Punkt

Q (1400 | 3825 | 1200)

und nach weiteren

2 s

im Punkt

R (1560 | 3755 | 1200)

. Für einen
ausreichenden Bremsweg nach der Landung ist es wichtig, dass das Flugzeug am Anfang der
Bahn im Punkt

S (3228 | 3650 | 10)

zur Landung kommt. Die Richtung des Landeanflugs wird
durch den Vektor

v

v = (60 | 0 | - 50)

vorgeschrieben. Das Flugzeug landet glücklich am vorgesehenen
Ort und kommt im Punkt

T (4100 | 4650 | 10)

zum Stehen.

a)

An welcher Position muss das Flugzeug seinen Landeanflug einleiten?

b)

Berechnen Sie die Länge des Bremsweges.

c)

Ermitteln Sie die Geschwindigkeit während des Landeanflugs.

d)

Führen Sie eine Modellkritik durch und überlegen Sie dabei, welche vereinfachenden
Annahmen gemacht wurden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

09:55 Uhr, 02.03.2012

...um zu zeigen, dass

F

auf

g

liegt suchst du ein

t,

für das gilt:

(\begin{matrix} 8 \\ - 10 \\ 18 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15008 \\ - 15010 \\ 25018 \end{matrix})

t \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15008 \\ - 15010 \\ 25018 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 8 \\ - 10 \\ 18 \end{matrix})

t \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 15000 \\ - 15000 \\ 25000 \end{matrix})

Nun muss

t

für alle 3 Gleichungen identisch sein, hier wär

t

für den Punkt

F

dann:

t = - 5000

Die Entfernung kann normal mittel Pythagoras aus der Differenz der Punkte

F

und

S

ermittelt werden (Maßstab beachten) oder aus dem Betrag der Differenz des Differenzvektors:

l = | F - S | = | (\begin{matrix} 15008 \\ - 15010 \\ 25018 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} 15008 \\ - 15010 \\ 25006 \end{matrix}) |

l = \sqrt{15008^{2} + {(- 15010)}^{2} + 25006^{2}} = \sqrt{1000^{2} \cdot ({1,5008}^{2} + {1,5010}^{2} + {2,5006}^{2})}

l = 1000 \cdot \sqrt{{1,5008}^{2} + {1,5010}^{2} + {2,5006}^{2}}

..dies dürfte man vielleicht getrost runden zu:

l = 1000 \cdot \sqrt{{1,5}^{2} + {1,5}^{2} + {2,5}^{2}} = 1000 \cdot \sqrt{2,25 + 2,25 + 6,25}

= 1000 \cdot \sqrt{11,25} = 1000 \cdot 3,3541 = 33541

...nun nicht vergessen, das

1 E = 10 m

b)

könntest du ja erst mal was abliefern, ich hab' jetzt Schreibpause...

;-)

pythagoras19 aktiv_icon

11:17 Uhr, 02.03.2012

lieben lieben lieben dank für die schnelle und super tolle antwort Edddi :-)
ich gehe die aufgabe/n nochmal ganz genau durch und versuche deine antwort zu verinnerlichen.
teilaufgabe

b)

werde ich so schnell wie möglich beantworten :-)

besten dank nochmal bist echt ein klasse typ :-)

pythagoras19 aktiv_icon

14:10 Uhr, 02.03.2012

ich bin deine rechnung nocheinmal durchgegangen.
bei der berechnung der entfernung des punktes F von der pyramidenspitze S bin ich auf 32800 gekommen.

L= sqrt von 15008²+(-15010²)+25006² = 32800

und nun zu teilaufgaben b)

da sich der punkt der auf der geraden g befindet g:x=(8|-10|18)+t⋅(-3|3|-5), setze ich diese geradengleichung mit der noch zu errechenden ebenengleichung E gleich und löse nach den variablen per geogebra auf.

S(0|0|12)A(6|0|0)B(0|-6|0)C(0|6|0)D(-6|0|0)

an folgender stelle war ich mir nicht wirklich sicher, welche punkte ich als ortsverktoren in die ebenengleichung ausdrücke. ich habe versucht, es "logisch" zu betrachten, was mir hoffentlich gelungen ist :-)

ortsvektoren der E bestimmen:

OA= (6|0|0)
-OA + OB = (-6|-6|0)
-OA + OS = (-6|0|12)

das setze ich in die E gleichung ein

E: x = OA + s * AB + v * AS

daraus ergibt sich

E: x = (6|0|0) + s* (-6|-6|0) + v*(-6|0|12)

nun setze ich g = E

(8|-10|18)+t⋅(-3|3|-5) = (6|0|0) + s* (-6|-6|0) + v*(-6|0|12) | -t*(-3|3|-5) ; - (6|0|0)

``das habe ich gemacht, damit die variablen auf einer seite stehen´´
daraus ergibt sich

(8|-10|18) - (6|0|0) = s* (6|-6|0)+ v* (-6|0|12) -t*(-3|3|-5)

daraus ergibt sich

(2|-10|18) = s* (6|-6|0)+ v* (-6|0|12) -t*(-3|3|-5)

das gebe ich nun als matrix in geogebra ein und benutze den befehl TREPPENNORMALFORM

fazit: da die 1 diagonal zu einander sind, und der rest aus nullen besteht, kriegen wir die werte für t , s und v. somit trifft das flugzeug bei dem flugvorhaben die pyramide...

KalleMarx aktiv_icon

15:09 Uhr, 02.03.2012

Moin Ihr beiden!

Die Entfernung

F S = 32800

ist korrekt.
Einerseits hat Eddis "grobes" Runden eine Abweichung des Ergebnisses von der Wahrheit von etwa 1,28 Metern zur Folge, andererseits war zur frühen Morgenstunde

2 \cdot 2, 25 + 6, 25

bei ihm

11, 25

statt

10, 75

.

Gruß - Kalle.

KalleMarx aktiv_icon

18:03 Uhr, 02.03.2012

So, nun kurz zu Aufgabenteil 3.b).

Deine Heransgehensweise ist prinzipiell richtig: Die Flugzeuggerade muss mit einer Pyramidenebene gleichgesetzt werden. Ich schreibe "einer" Ebene, da die Pyramide vier Seitenflächen hat und davon kommen drei für das Flugzeug in Frage. Entweder muss man also per Überlegen oder anhand einer Skizze vorweg die relevante Ebene herausfinden, oder im Zweifelsfall drei Rechnungen ausführen. Du schreibst nicht näher, wie Du auf die Ebene durch die Punkte A, B und S gekommen bist, doch das ist die richtige.

Gleichsetzen der Gleichungen ist auch o.k., doch schreibst Du zur Lösung nichts weiter. Stattdessen lässt Du die Arbeit den Computer erledigen - ist das so gedacht?
Da frage ich mich schon, zu welchem Zweck Du diese Aufgabe bearbeitest.

Die weitere Vorgehensweise ist die folgende:
Du berechnest zunächst, ob das Gleichungssystem überhaupt eine Lösung hat. Ist das positiv, musst Du die Ebenenparameter

s

und

v

betrachten. Liegen deren Werte beide zwischen 0 und 1, liegt der Durchstoßpunkt der Geraden durch die Ebene innerhalb des Dreiecks ABS. Haben sie andere Werte, schneidet die Gerade zwar die Ebene, doch liegt der Durchstoßpunkt nicht auf der Seitenfläche der Pyramide.
Du musst also prüfen, ob

0 \leq s \leq 1

und

0 \leq v \leq 1

ist.

In der Fragestellung steht noch "beurteile gegebenenfalls die Lage des Treffpunkts". Was ist denn damit gemeint - sollst Du angeben, in welcher Höhe die Pyramide getroffen wird (also wieviel Prozent der Pyramide zerstört werden) oder was?

Gruß - Kalle.

pythagoras19 aktiv_icon

09:13 Uhr, 03.03.2012

moin kalle

gefragt ist, an welchem punkt das flugzeug bei gleichbleibendem kurs aufkommen würde.
muss ich dafür nicht die werte der parameter jeweils in die rechnung der geraden und der ebene einsetzen ?

pythagoras19 aktiv_icon

20:23 Uhr, 03.03.2012

wie ermittle ich denn den kollidionspunkt?

pythagoras19 aktiv_icon

20:46 Uhr, 03.03.2012

die aufgabe 4 fällt mir nicht so leicht

a) ich weiss nicht wirklich was damit gemeint ist bzw. was von mir gefordert ist

$S (3228 3650 10) T (4100 4650 10)$

L= $L = \sqrt{S - T} = 1326, 79$

der bremsweg beträgt 1326.79 m.

c) theorie :

hier bin ich mir etwas unsicher, aber ich probier mal die geschwindigkeit des flugzeug während des flugs dual zu errechnen. d.h, dass ich die geschwindigkeit einmal nach 5s und anschließend 2s errechne indem ich P-Q und Q-R errechne und diese werte separat mit hilfe des pythagoras und auf ein ergebnis x komme, welches ich anschließend durch die jeweilig hinterlegte zeit (einmal 5s und daraufhin 2s) teile um auf die geschwindigkeit zu kommen. [falls es richtig ist]

$p (1000 4000 1200) q (1400 3825 1200) r (1560 3755 1200) s$

d) hier habe ich auch echt keine ahnung

KalleMarx aktiv_icon

01:41 Uhr, 04.03.2012

Moin Pythagoras!

Nein, so wie Du die Aufgabenstellung 3.b) widergegeben hast, ist nicht nach dem Punkt selbst gefragt. Es ist nur gefragt, ob das Flugzeug mit der Pyramide koillidiert oder nicht und das überprüfst Du wie oben angegeben.
Wenn Du - warum auch immer - den Durchstoßpunkt der Gerade durch die Ebene bestimmen möchtest, musst Du
- entweder den gefundenen Geradenparameter in die Geradengleichung
- oder die gefundenen Ebenenparameter in die Ebenengleichung
einsetzen. Machst Du beides, kommt das einer Probe gleich.

Zu 4.a)
Das Flugzeug befindet sich ja zunächst auf einer horizontalen Flugroute, die durch die Gerade durch die Punkte

P

und

R

beschrieben wird. Aufsetzen soll es im Punkt

S

und zwar aus der Richtung

\vec{v}

kommend. Für den Landeanflug musst Du also eine Gerade durch den Punkt

S

mit dem Richtungsvektor

\vec{v}

auftstellen. Ihr Schnittpunkt mit der Geraden durch

P

und

R

ist der Punkt, in welchem der Landeanflug einzuleiten ist. Es ergibt sich

A (1800 ∣ 3650 ∣ 1200)

.

Zu 4.b)
Ist richtig.

Zu 4.c)
Deinen Text nehme ich mir morgen noch mal vor - ist wohl schon etwas spät.
Vor allem kann ich mit Deiner vorletzten Zeile (direkt über Aufgabenteil d)) nichts anfangen. Was soll das sein?

Zu 4.d)
Da wäre zuerst der Punkt

A

, in welchem der Landeanflug eingeleitet wird. Ein Flugzeug kann seinen Kurs natürlich nicht abrupt ändern - wenn es physikalisch möglich wäre, würden die Passagiere dem Piloten das ziemlich übel nehmen. Vielmehr geschieht das kontinuierlich. Wenn Du die modellierte Flugroute zeichnest, hat sie im Punkt

A

einen Knick. In der Realität gibt es aber diesen Knick nicht, sondern es ist eine langegezogene Kurve, durch die die beiden Geraden allmählich ineinander übergehen.
Weiter ist das Aufsetzen zu betrachten: Nach dem Modell schlägt das Flugzeug in einem Winkel von knapp 60° auf der Landebahn auf. Stell Dir das mal in der Realität vor! Real muss die Flugrichtung des Flugzeugs beim Aufsetzen natürlich nahezu horizontal (tangential an die Landebahn) sein. Das bedeutet aber, daß der Landeanflug nicht komplett auf einer Geraden verlaufen kann, sondern durch eine Kurve beschrieben werden müsste um der Realität näher zu kommen.
Dann müsste man sich die Berechnung der Anflugsgeschwindigkeit anschauen. Ich bin zwar kein Pilot aber die Geschwindigkeitsänderung ist bestimmt nicht linear. Vielleicht eher quadratisch, kubisch ... oder sogar exponentiell? Da könnte man mal in Fachkreisen/-foren nachfragen.
Vielleicht fällt mir morgen noch mehr dazu ein.

Eine gute Nacht - Kalle.

pythagoras19 aktiv_icon

09:14 Uhr, 04.03.2012

auch dir danke ich kalle :)

vielen vielen vielen dank für die tolle antwort :)

tolles forum, echt ! nette, kompetente, hilfsbereite und super sympathische leute !

KalleMarx aktiv_icon

11:06 Uhr, 04.03.2012

Mahlzeit!

Habe nochmal Deine Idee zu 4.c) gelesen und nun verstanden. Die Formulierung mit "dual" kam mir gestern etwas komisch vor aber das ist soweit richtig.
Man findet, daß sich die Geschwindigkeit zwischen den Punkten

P

Q

und

R

nicht verändert, sondern konstant etwa 314,4 km/h beträgt. Dementsprechend erübrigt sich natürlich eine Extrapolation.
Wären die Geschwindigkeiten nicht gleich, müsstest Du aus diesen Werten die Geschwindigkeit zwischen den Punkten

A

und

S

extrapolieren. Dabei könnte man nur von einer linearen Geschwindigkeitsänderung ausgehen, da Du nur zwei Werte hast. Es sei denn man bezieht noch Punkt

T

mit ein, aber das ist wohl nicht so gedacht.

Kleiner Hinweis zum TeX-Code: Einen Punkt

B (3 ∣ 5 ∣ 8)

gibt man so ein: B(3\,|\,5\,|\,8).

Gruß - Kalle.

pythagoras19 aktiv_icon

14:06 Uhr, 04.03.2012

Moin Kalle

den aufgabenteil 4.b) kann ich leider schwer praktizieren

habe ich das richtig verstanden, dass ich aus dem punkt S und dem vektor V eine gerade bilde und die wiederrum mit der geradengleichung von P und R gleichsetze?!

g: x= (3228\|\3650\|\10) *t (60\|\0\|\10) = (1000\|\4000\|\1200) *k (1560\|\3755\|\1200)

der schnittpunkt dieser gleichungen ist der punkt, an dem das flugzeug den landeanflug einleitet?!

KalleMarx aktiv_icon

19:34 Uhr, 04.03.2012

'N abends!

Du meinst wohl Aufgabenteil 4.a)? 4.b) hast Du doch schon gelöst.
Ja; so, wie Du es in Worten formulierst, hast Du es richtig verstanden. Doch Deine mathematische Formulierung stimmt nicht, denn Du hast die Geradengleichungen nicht richtig aufgestellt. Abgesehen davon, daß Deine Vektoren nicht stimmen, multiplizierst Du sie auch noch. Die beiden Geraden lauten richtig:

g : \vec{x} = \bar{O P} + k \cdot \bar{P R}

für den Horizontalflug und

h : \vec{x} = \bar{O S} + m \cdot \vec{v}

für den Landeanflug.
Mit den gegebenen Punkten/Vektoren wird daraus:

g : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 1000 \\ 4000 \\ 1200 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{rcl} 560 \\ - 2453 \\ 0 \end{array})

und für den Landeanflug:

h : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 3228 \\ 3650 \\ 10 \end{array}) + m \cdot (\begin{array}{rcl} 60 \\ 0 \\ - 50 \end{array})

Diese beiden Geraden mußt Du gleichsetzen, die Parameter und den Schnittpunkt bestimmen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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