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Ebenen und Winkelhalbierende

Universität / Fachhochschule

Tags: Achsen, Ebenengleichung, Winkelhalbierende

Sasasmile aktiv_icon

16:19 Uhr, 26.08.2018

Ich lerne gerade für eine Mathe-Klausur und da ist in den Übungen diese Frage aufgetreten.
Man soll daraus die verschiedenen Ebenenformen aufstellen, jedoch kann ich mir die Situation einfach nicht vorstellen. Kann vielleicht jemand diese Situation für mich Bildlich darstellen?

Es sei

E

eine Ebene im

R 3

.
Wir setzen voraus, dass der Schnitt von

E

mit der x1x2-Ebene die
Winkelhalbierende der x1-Achse und der x2-Achse und der Schnitt von

E

mit der x2x3-Ebene
die Winkelhalbierende der x2-Achse und der x3-Achse ist.

Liebe Grüße
Sasa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

michaL aktiv_icon

17:41 Uhr, 26.08.2018

Hallo,

die Schnittgeraden haben ja einen Richtungsvektor. Da die Schnittgerade AUCH Teil der gesuchten Ebene ist, muss der Schnittgeradenrichtungsvektor sicher auch Teil der Ebene sein.
Das gilt für beide Schnittgeraden, wodurch du zwei Richtungsvektoren für die Ebene bekommst.
Nun musst du dir noch einen Punkt suchen, der Teil der Ebene sein muss.
Auch da hilft dir ein scharfer Blick auf eine der Schnittgeraden weiter!

Mfg Michael

Sasasmile aktiv_icon

20:39 Uhr, 26.08.2018

Würde es auch gehen wenn ich die Punkte

(0 | 0 | 0), (1 | 1 | 0)

Als eine Winkelhalbiernde und

(0 | 1 | 1)

als andere Winkelhalbierende, nehme und daraus die Ebenengleichung Bilde?

Oder habe ich da einen Denkfehler drinne?

Roman-22

20:51 Uhr, 26.08.2018

>

Oder habe ich da einen Denkfehler drinne?
Nur den, dass du nicht "Punkte als Winkelhalbierende" nehmen kannst. Ein Punkt und eine Gerade sind zu verschieden, als dass man das eine für das andere nehmen könnte ;-)

Aber grundsätzlich ist das schon richtig, dass die drei von dir genannten Punkte Ebenenpunkte sind und die Ebene dadurch festgelegt ist.
Und wenn du die beiden Vektoren vom Ursprung jeweils zu den anderen beiden Punkten bildest, hast du ja auch sofort die Richtungsvektoren, auf die michaL hingewiesen hatte.

So oder so solltest du auf

x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0

kommen.

Sasasmile aktiv_icon

20:58 Uhr, 26.08.2018

Super, genau das hatte ich jetzt auch raus bekommen.
Danke!

anonymous

14:49 Uhr, 27.08.2018

Auf dem ( fossilen ) Portal Lycos gab es nur Star Matematiker und leichte Mädchen.

" Würdest du deinem Freund vergeben, wenn er dich mit einer Pott hässlichen betrügt? "
" GERADE DANN NIEMALS

. .

. "

" Wie kriegt frau raus, ob der Freund auch treu ist? "
" Erst mal musst du rauskriegen, auf welchen Typ er steht.
Dann musst du so eine ansprechen.
Und nicht zu letzt musst du ihr genug Geld geben

. .

. "

Wir hatten SOO VIIIEL Spaß miteinander

. .

.

Der Grund, warum Lycos eingemottet wurde. User " Herbert_h " gab zu erkennen, er führe " eine Akte über mich " Für die Moderatoren war es ein heilsamer Schreck, als es Herbert gelang, Klarnamen und Geburtsdaten meiner sämtlichen Klassenkameraden zu decodieren.
Einer der ganz großen Matematiker auf Lycos war Ribek. Ich staunte nicht schlecht, als er ( ohne Beweis ) eine Determinante angab, mit der es dir gelingt, die Parameterform ( PF ) einer Ebene in ihre Koordinatenform ( KF ) umzurechnen. Ich selbst bin dieser Metode treu geblieben und habe es nicht bereut .
Es folgt der Beweis aus allgemeiner AGULA . Auf der Ebene

E

liegt der Ursprung; ferner hast du über die WH Bedingung zwei Basisvektoren der Ebene .

u := (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}); v := (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) (1)

Somit lautet die PF deiner Ebene

E (λ;

) = λ u +

v = : P (2 a)

Was jetzt folgt, ist ein nckisches Vexierspiel mit den beiden Begriffen UnBESTIMMTE und Unbekannte . Zunächst mal ist

P \in (2 a)

ein unbestimmter Punkt deiner Ebene.

P \in E; P = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) (2 b)

Nein sage ich;

P \in (2 a)

wird mit einer Reißzwecke fest gepiekst; wir denken uns

P

fest vorgegeben . Dann aber wird

(2 a)

zu einem LGS in den beiden Unbekannten

λ

und µ

, d . h

λ

und µ werden von Unbestimmten zu Unbekannten . Dabei ist die

\to

Koeffizientenmatrix ( KM ) von

(2 a)

vom Format

3 X 2

und hat

\to

Rang 2 .
( Die beiden Basisvektoren

u

und

v \in (1),

entsprechend den Spalten der KM , sind selbst redend linear unabhäng; der Rang ist mindestens gleich 2 . Ferner gilt: Zeilenrang = Spaltenrang; trotz der drei Zeilen kann der Rang nicht

> 2

sein. )

(max

Zeichen ; Fortsetzung folgt )

anonymous

16:20 Uhr, 27.08.2018

Dann aber ist die

\to

erweiterte KM QUADRATISCH vom Format

3 X 3

und hat eben Falls Rang 2 .
Ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .

Wie ist das hier mit dem Rang? Dass eine Lösung von

(1.2 a) i n λ

und µ existiert, bedeutet doch gerade, dass

P

darstellbar ist als Linearkombination von

u

und

v

bzw. linear abhängig ist von

u

und

v

det (u | v | P) = 0 (2.1)

Unser Musiklehrer " Pauli "

" Welchen Notenwert hat der Pauli? "
" Halbe Note - hohler Kopf mit Hals

. .

. "

der seine sämtlichen Klassen zwang, Blockflöte zu lernen, war völlig unnachsichtig in der Teorieprüfung. Und wenn wir ihm dann was vor blasen sollten, sprach er

" So - das war die Teorie. Und jetzt kommt die Praxis. "

Setze also mal das um, was du in

(2.1)

gelernt hast. Eine Determinante ist weiter nichts als eine Tabelle, die du nur richtig füllen musst, siehe

(1.1; 2 b)

det = | \begin{matrix} 1 & 0 & x \\ 1 & 1 & y \\ 0 & 1 & z \end{matrix} | = 0 (2.2 a)

Auswertung nach Onkel Sarrus

det = (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) x + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) y + (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) z = (2.2 b)

= x - y + z = 0 (2.2 c);

Probe !

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