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Ebene mit maximalem Abstand zum Ursprung gesucht

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ebenengleichung, maximaler abstand

JennyBi aktiv_icon

14:46 Uhr, 14.12.2010

Hallo ihr Lieben.

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

[...]

Zeige ferner, dass es unter allen Ebenen Et genau eine Ebene Et0 gibt, deren Abstand vom Koordinatenursprung maximal ist. Bestimme

t 0

.

also gegeben ist die Ebene Et:

x 1 - t \cdot x 2 + (2 t + 1) + x 3 = t

vorher habe ich bewiesen, dass diese durch den Punkt

P (0 | - 1 | 0)

geht und orthogonal zur Ebene

E : - x 1 + 2 x 2 + x 3 = 2

ist

Ich habe die Vermutung, dass ich das mit der Hesse'schen Normalenform machen muss, aber wegen dem MAXIMALEN Abstand komm ich nicht weiter.

Danke schonmal für eure Hilfe!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

BjBot aktiv_icon

01:24 Uhr, 15.12.2010

Deine Vermutung ist richtig.
Und da ja dann kein konkreter Abstand rauskommt, sondern irgendwas in Abhängigkeit von

t,

kannst du diesen Term als Funktionsterm

d (t)

ansehen.
Der Rest ist dann eine ganz normale Extremwertbestimmung.
Denke auch an das Zeigen der Eindeutigkeit (genau eine Ebene

E_{t_{0}})

JennyBi aktiv_icon

11:43 Uhr, 15.12.2010

ich hab noch so ein paar Probleme...

also, ich habe jetzt die Länge des Normalenvektors von Et berechnet, den brauch ich ja für die Hesse'sche Normalenform.
da kommt bei mir raus: Wurzel aus 5t²+4t+2

wie mach ich dann da weiter?
eigentlich muss ich ja die Ebenengleichung dadurch teilen, aber ich weiß gerade nicht wie das gehen soll...

kann mir da bitte nochmal jemand helfen?

vulpi aktiv_icon

12:27 Uhr, 15.12.2010

Hi !

Du hast in der obigen Ebenengleichung einen Tippfehler drin.
Es sollte wohl

(2 t + 1) \cdot x_{3}

und nicht

+ x_{3}

heißen !
(Das entnehme ich aus deiner Angabe des Betrages von

\vec{n})

Wie du schon richtig sagst, für die allgemeine Abstandsgleichung gilt dann für einen Punkt

X = (x_{1} | x_{2} | x_{3})

d (X) = \frac{x_{1} - t x_{2} + (2 t + 1) x_{3} - t}{\sqrt{5 t^{2} + 4 t + 2}}

Dass nach dem Abstand zum URSPRUNG gefragt ist, macht die Sache dann gleich bequemer:

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0 \Rightarrow

d_{0} (t) = \frac{- t}{\sqrt{5 t^{2} + 4 t + 2}}

Das ist der Abstand (mit Vorzeichen) vom Ursprung

(0 | 0 | 0)

abhängig vom Parameter

t

Für den Abstand interessiert aber nur der Betrag, gesucht ist also das Maximum von

| d_{0} (t) |

Dazu würde ich zunächst die Extremwerte der "normalen" Funktion ohne Betrag bestimmen, und dann prüfen, was davon das Maximum im BETRAG ist.
Gäbe es zum Beispiel ein negatives Minimum, dann wäre dieses vom (Zahlen)Betrag eventuell das Maximum.
lg

Nachtrag:
Vllt wäre es ratsam, den Quotienen in eine Gesamt-Wurzel zu packen:

d_{0} (t) = \sqrt{(\frac{t^{2}}{5 t^{2} + 4 t + 2})}

Jetzt kann man argumentieren, dass der Radikand die gleiche potentielle Maximumstelle hat wie
die Wurzel (Monotonie).
Also suche man das Maximum der Quadrate:

d_{2} (t) = \frac{t^{2}}{5 t^{2} + 4 t + 2}

Das ist die Funktion der Abstandsquadrate abhängig von

t

Damit wär' die Wurzel mal vom Acker :-)

lg

JennyBi aktiv_icon

13:46 Uhr, 15.12.2010

DANKE! :-)
Du hast mir echt weitergeholfen!!!

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