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Ebenengleichung bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Lösungsweg gesucht

Martina122 aktiv_icon

08:47 Uhr, 23.10.2020

Hallo zusammen,

ich suche nach einer Gleichung einer Ebene, die geschnitten worden ist. Ich habe auch das Endergebnis, doch komme nicht drauf. Würde es mir vielleicht einer erklären?
VG

Ps
Eine Kantenlänge

l = 4

Ergebnis: x1+x2+x3−8=0

Warum auch aus welchem Grund wird das Bild nicht hochgeladen. Deshalb hier die Koordinaten an den Punkten wo es geschnitten wird.

H (4,0,4); F (4,4,0); C (0,4,4)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

09:02 Uhr, 23.10.2020

Hallo,
die Bilddatei war wahrscheinlich zu groß. probiers nochmal mit einem "kleineren" JPG
:-)

Martina122 aktiv_icon

09:05 Uhr, 23.10.2020

Die Aufgabe

Martina122 aktiv_icon

09:06 Uhr, 23.10.2020

Danke :-)

funke_61 aktiv_icon

09:15 Uhr, 23.10.2020

gelöscht. da falsch

funke_61 aktiv_icon

09:19 Uhr, 23.10.2020

kannst Du einen Normalenvektor der gesuchten Ebene bestimmen?

Martina122 aktiv_icon

09:24 Uhr, 23.10.2020

Ja, habe es auch schon versucht. Komme nur nicht auf das Ergebnis.

funke_61 aktiv_icon

09:25 Uhr, 23.10.2020

welchen Normalenvektor hast Du denn gefunden?

Martina122 aktiv_icon

09:32 Uhr, 23.10.2020

Habe erst mit der allg Parametergleichung angefangen. Wie üblich HF und HC ausgerechnet, dann so weiter.

funke_61 aktiv_icon

09:36 Uhr, 23.10.2020

dieser Weg ist hier etwas umständlich, denn aus der Zeichnung lässt sich bequem ein Normalenvektor "herauslesen":
Die drei Punkte

H, C

und

F

sind doch alle gleich weit vom Ursprung entfernt. kannst Du das erkennen?
Aussedem liegen

H, C

und

F

jeweils auf einer Ebene, die durch zwei Koordinatenachsen aufgespannt wird. ist dies für Dich auch erkennbar?

Martina122 aktiv_icon

09:38 Uhr, 23.10.2020

Ja, das erkenne ich.

funke_61 aktiv_icon

09:40 Uhr, 23.10.2020

gut. kannst Du mit diesem Wissen die Koordinaten des Punktes

G

angeben?

Martina122 aktiv_icon

09:43 Uhr, 23.10.2020

Das wäre dann (4,4,4,)??

funke_61 aktiv_icon

09:45 Uhr, 23.10.2020

genau.
kannst Du Dir nun vorstellen, in welchem Winkel der Vektor

\vec{O G}

die Ebene schneidet?

Martina122 aktiv_icon

09:48 Uhr, 23.10.2020

Das wäre dann

(4,0,4)

funke_61 aktiv_icon

09:51 Uhr, 23.10.2020

ich habe nach einem Winkel gefragt

: - (

Bitte gib mir zunächst die Koordinatendarstellung des Vektors

\vec{O M},

damit ich erkennen kann, ob Du mir folgen kannst.

Martina122 aktiv_icon

09:55 Uhr, 23.10.2020

Dann komm ich nicht ganz mit :-D)

funke_61 aktiv_icon

10:01 Uhr, 23.10.2020

schade. Oh, ich sehe gerade, dass ich oben versehentlich

\vec{O M}

statt

\vec{O G}

geschrieben habe.
Die Koordinaten des Punktes

G

hast Du korrekt mit

4,4,4

angegeben.
Damit ist der Vektor

\vec{O G} = \vec{g} - \vec{0} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

soweit klar?

Martina122 aktiv_icon

10:03 Uhr, 23.10.2020

Ja, soweit alles verständlich.

funke_61 aktiv_icon

10:05 Uhr, 23.10.2020

jetzt schau Dir diesen Vektor

(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

an.
wie ist seine Lage zur Ebene?

Martina122 aktiv_icon

10:09 Uhr, 23.10.2020

Wenn ich es verstanden habe dann Parallel?

funke_61 aktiv_icon

10:12 Uhr, 23.10.2020

leider nein!

Wie wird der Koordinatenursprung in der Zeichnung bezeichnet?
bzw.
Welcher Punkt liegt im Koorsinatenursprung?

Martina122 aktiv_icon

10:21 Uhr, 23.10.2020

Dazu kann ich leider nicht sagen. Kannst du die Schritte nicht aufschreiben? Muss die um

11

Uhr abgeben.

Mathe45

10:30 Uhr, 23.10.2020

Dann die Kurzform:
Du hast ja

\vec{H F}

und

\vec{H C}

schon berechnet.
Der Normalvektor

\vec{n}

ist das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren

\vec{n} = \vec{H F} x \vec{H C} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \\ 16 \\ 16 \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Normalenform

\vec{x} \cdot \vec{n} = \vec{H} \cdot \vec{n}

\vec{H}

ist der Ortsvektor von

H

\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

x + y + z = 8

Martina122 aktiv_icon

10:33 Uhr, 23.10.2020

Danke :-) Genau so hatte ich es auch versucht.

Martina122 aktiv_icon

10:33 Uhr, 23.10.2020

Danke :-) Genau so hatte ich es auch versucht.

funke_61 aktiv_icon

10:35 Uhr, 23.10.2020

oh je. Leider werden Dir diese Schritte ohne wirkliches Verständnis der Räumlichen Zusammenhänge wenig nutzen:

\vec{O G} = \vec{A G} = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

steht senkrecht auf der gesuchten Ebene ist also ein Normalenvektor

\vec{n}

dieser Ebene.
Punkt

F (4,4,0)

eingesetzt in die Grundform der Normalengleichung der gesuchten Ebene:

(\vec{x} - \vec{f}) \cdot \vec{n} = 0

(\vec{x} - (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) = 0

((x_{1} - 4) \cdot 4 + (x_{2} - 4) \cdot 4 + (x_{3} - 0) \cdot 4 = 0 | : 4

x_{1} - 4 + x_{2} - 4 + x_{3} = 0

den Rest schaffst Du hoffentlich selber

: - (

Martina122 aktiv_icon

10:37 Uhr, 23.10.2020

Ja, vielen Dank für deine Zeit :-)

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