Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ebenengleichung gesucht

Ebenengleichung gesucht

Schüler Gymnasium,

Tags: Ebenengleichung

Sinamel aktiv_icon

12:06 Uhr, 26.05.2026

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe und hänge, glaube ich, in

e)

etwas.

Meine Idee ist, dass die Ebene

H

ja die Punkte

U

und

V

enthält. Ich würde jetzt

U

als Stützvektor für die Gleichung nehmen.
Kann ich dann den Vektor durch CS als Normalenvektor nehmen, also

(- 3 | - 1 | 4)

? Und dann wäre mein Ergebnis

E : [x - (3,5 | - 0,5 | 2)]

•

(- 3 | - 1 | 4) = 0

?

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

calc007

13:28 Uhr, 26.05.2026

Hallo
Du kannst ja

>

den Vektor

U \to V

mal rechnen,

>

den Vektor

C \to S

mal rechnen,
und dich überzeugen, dass die nicht senkrecht aufeinander stehen, (wie man anhand der Skizze schon erahnen möchte).

Deshalb ist (mindestens für mich) aus deinen Ausführungen nicht recht ersichtlich, was wirklich hinter deiner 'Idee' steckt.

Hast du dir denn schon eine Vorstellung von der Ebene

H

gemacht?
Gerne darfst du sie dir ja auch in der Skizze andeuten...
Ganz sicherlich richtig ist ja die Idee,
" dass die Ebene

H

ja die Punkte

U

und

V

enthält."
Dann wäre mein spontaner Gedanke (Idee):
Dann müsste auch der Mittelpunkt zwischen

C

und

W

in der Ebene

H

liegen...

Sinamel aktiv_icon

14:10 Uhr, 26.05.2026

Okay, Vektor

U

—>

V

und Vektor

C

—>

S

stehen nicht senkrecht aufeinander. Dann kann ich

C

—>

S

wohl nicht als NV nehmen. Aber wie dann? Ich komme leider überhaupt nicht weiter.

Danke für jede Hilfe!

Roman-22

15:26 Uhr, 26.05.2026

Nun, wie calc007 schon ausführte, gibt es keinen Grund, anzunehmen, dass

\vec{C S}

ein Normalvektor der gesuchten Ebene ist und diese Annahme wäre auch schlicht falsch.

Du kannst ja seiner Idee folgen und damit die Ebene durch drei Punkte festlegen.

Und wenn du direkt auf die Normalvektorform der Ebenengleichung lossteuern möchtest - wie wäre es mit

\vec{C W}

(oder auch

\vec{B T})

als Normalvektor?
Als Spiegelstrahl sollte

(C W)

ja wohl normal zur Spiegelebene

H

stehen. Deshalb ist ja auch (siehe calc007) der Mittelpunkt von

\bar{C W}

ein Punkt der Spiegelebene.

Randolph Esser aktiv_icon

07:03 Uhr, 28.05.2026

Hallo Sinamel,

elementargeometrisch findet man leicht, dass

H = {V + q (U - V) + r (\frac{W + C}{2} - V) : q, r \in ℝ}

.

Mit

V = (\begin{matrix} \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 2 \end{matrix}), U = (\begin{matrix} \frac{7}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ 2 \end{matrix}), W = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), C (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

ist das die Punktmenge

H = {(\begin{matrix} \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 2 \end{matrix}) + q (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ - 1 \end{matrix}) : q, r \in ℝ}

.

Mit ein bisschen linearer Algebra (siehe Anhang),

(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & | 0 \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & - 1 & | 0 \end{matrix}) \approx \approx > (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}), 1 \cdot \frac{7}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{5}{2},

findet man dann die Ebenengleichung

x - \frac{1}{2} z = \frac{5}{2}

für

H,

also

H = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} : x - \frac{1}{2} z = \frac{5}{2}}

.

Dasselbe findet man natürlich auch mit dem Kreuzprodukt

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - \frac{1}{2} \end{matrix})

der

H

aufspannenden Vektoren...

Roman-22

18:08 Uhr, 28.05.2026

Ich weiß ja nicht, ob Sinamel nach nun bereits zwei Tagen ohne Reaktion überhaupt noch Interesse hat, aber deutlich einfacher geht es wohl wie schon oben skizziert mit

\vec{C W}

oder einem Vielfachen davon als Normalvektor und dem Ortsvektor von

U

als Stützvektor.

Mit

\vec{C W} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

ist auch

\vec{n} = - \frac{1}{2} \cdot \vec{C W} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

ein Normalvektor von H.

Mit

U (\frac{7}{2} / - \frac{1}{2} / 2)

gilt dann

H : \vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{O U}) = 0

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3,5 \\ - 0,5 \\ 2 \end{matrix})) = 0

2 x - z - 5 = 0

oder

2 x - z = 5

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1592477

1592464

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?