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Ebenengleichung parametrisieren

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ebenengleichung, Flussintegral, Integration, parametrisierung

karll aktiv_icon

10:06 Uhr, 14.11.2016

Hallo!

Mir sind folgende Informationen gegeben:

Vektorfeld

F (r) = x * e_{x}

F

r

und

e_{x}

sind Vektoren,

e_{x}

der Einheitsvektor im Kartesischen.

Zudem die Fläche, ausgedrückt als Gleichung:

1 x + 2 y + 3 z = 4

______________

Hierzu soll ich nun zum einen die Parameterdarstellung der Fläche erstellen und anschließend den Flächenelementsvektor

δ S

bestimmen. (<- Vektor)

Hab versucht mich einzulesen, bin aber nicht weit gekommen:
Der Normalenvektor

n

bestimmt sich irgendwie über die Faktoren der x,y,z.

Ich hoffe, Ihr könnt mir sagen, wie ich aus dieser Ebenengleichung eine Parameterdarstellung bekomme (zB über ein äquivalentes Beispiel, Ausgangssituation: Ebenengl.. usw.)

LG, Karl

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

Edddi aktiv_icon

10:49 Uhr, 14.11.2016

. .

. wähle 3 willkürliche Punkte,

z . B

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \frac{4}{3} \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Nun hast du einen Punkt für den Stützvekter und mit den anderen beiden Punkten kannst du 2 Richtungsvektoren in Bezug zum Stützvektor erzeugen.

;-)

karll aktiv_icon

12:03 Uhr, 14.11.2016

Okay, dann hab ich diese Darstellungsform und hab damit (da Richtungsvektoren lin. Unabh.) die Ebene aufgespannt

Wie genau hilft mir das, wenn ich den Fluss von meinem Vektorfeld durch diese Fläche berechnen will? Wenn das Vektorfeld x*e_x ist?

Um das Integral:

Integral mit den Grenzen [0,inf]dx, [0,inf]dy, [0,inf] dz von e*e_x durch die oben parametrisierte Flache zu bilden?

Integral(x*e_x) * dS .

?

ledum aktiv_icon

12:27 Uhr, 14.11.2016

hallo
um das Integral zu bilden musst du ja nur den Normalenvektor auf die Ebene kennen, der ist

{(1,2,3)}^{T}

da die Ebenendarstellung durch

sec (n) \cdot \vec{x} = d

gegeben ist.

\vec{n}

musst du noch normieren dS =vec(n)|dA|,

F = {(x,0,0)}^{T}

steht in der Aufgabe wirklich, dass du die Ebene parametrisieren sollst?
vielleicht postest du die Originalausgabe, und lernst hier Formeln zu schreiben, dein Zeug ist ja kaum lesbar, klick mal auf "Wie schreibt man Formeln" über dem Eingabefenster.
Gruß ledum

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