Ebenenschar mit Trägergeraden ausrechnen

Hallo ! Ich bins schon wieder und komme nicht weiter .... :( ... undzwar hat man eine Trägergerade

g:
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\underset{4}{\overset{1}{-1}}\right)+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\left(\underset{1}{\overset{2}{-2}}\right)}$

und soll eine Gleichung einer Ebenenschar angeben, die sich alle in der Gerade schneiden.

Kann mir jemand erklären wie man da vorgehen muss?

Ich hab jetzt einen Ansatz:

I x=1+2r

II y=-1-2r

III z=4+r

Wenn man r eliminiert indem man I +II und I + III*(-2) rechnet, dann die neuen beiden Gleichungen addiert, bekommt man die Gleichung (wenn ich richtiggerechnet habe):

2x+y-2z=-7

Bringt mich das weiter oder ist das falsch?

Hallo! Dankeschön =), ja stimmt, jetzt leuchtet mir erst ein das die Trägergerade auch ein Teil von der Ebenengleichung sein kann, nur ist mir noch etwas unklar wie man den letzten Richtungsvektor bekommt. Also die Gleichung, die ich oben ausgerechnet habe stellt durch seine Koeffizienten einen Punkt dar? also P(2/1/-2) ?

Ist es egal, welchen Wert man dann durch eine Variable ersetzt?

Grüße

Chrissi

Hallo chrissi

Vielleicht hiltft auch hier die gleiche überlegung wie bei der Ebene parallel zur z-Achse:

Egal, wie man auch r wählt, der Punkt der gegebenen Geraden muss auf der Ebene liegen.

Setzt man als Ebenengleichung an:

ax+by+cz=d

und dann für x, y und z die Punkte der Geraden:

a(1+2r)+b(-1-2r)+c(4+r)=d

dann erhält man nach einigem Umfomen:

a-b+4c+(2a-2b+c)r=d

Das soll für alle r erfüllt sein, somit kann der Koeffizient bei r null gesetzt werden, und man erhält:

c=2b-2a

Das kann in der Ebenengleichung eingesetzt werden:

ax+by+(2b-2a)z=d

Setzt man nun nochmals die Punkte aus der Geradengleichung ein:

a(1+2r)+b(-1-2r)+(2b-2a)(4+r)=d

dann bekommst du wieder nach ein Bisschen rechnen:

d=7b-7a

... und auch das in der Ebenengleichung eingesetzt

ax+by+(2b-2a)z=7b-7a

Das wäre sie also! Vielleicht noch zur Verschönerung etwas ausklammern:

ax+by+2(b-a)z=7(b-a)

(a und b dürfen beliebig gewählt werden, das sind die Parameter, wenn du lieber möchtest kannst du das ja auch umtaufen: statt a ein s und statt b ein t:

sx+ty+2(t-s)z=7(t-s)

)

Du kannst jetz selber testen: Jeder Punkt der Geraden erfüllt die Gleichung.

Alles klar?

Gruss

Paul

Dankeschön für die ausführliche Erklärung =), die Rechenschritte sind mir jetzt klar , was ich nur noch nicht ganz verstanden habe ist, warum man den Koeffizienten von r gleich Null setzt und warum ausgerechnet Null?

Hab jetzt noch eine Aufgabe versucht, die so ähnlich war, aber ich bin mir nicht sicher ob das die Lösung ist.:

Aufgabe:

Geben Sie eine Gleichung derjenigen Ebenenschar an, die alle Ebenen enthält, die echt parallel zur x-Achse und zur Geraden g: x=(1 -2 4) +r(2 -1 2) verlaufen.

Die Gerade und die x-Achse liegen genau in der Ebene. Also die Gleichung stimmt denke ich zwar, aber ich bin mir nicht sicher ob das die einzige lösung ist oder ob was fehlt. Könnte vllt jemand nochmal drüber schaun?

Um das zu Lösen habe ich es erst wie oben gezeigt gemacht, und es kam raus:

ax+(2a+2c)y+cz =-3a .

Damit die Ebene auch parallel zur x-Achse ist, habe ich a=0 gesetzt und es bleibt:

2cy+cz=0

Hallo chrissi

zu deiner ersten Frage: du hattest ja diese Gleichung:

a-b+4c + (2a-2b+c)r=d

Nun muss man annehmen, dass a,b,c und d fix sind, denn in einer der gesuchten Ebenengleichung dürfen sie sich nicht verändern (wenn du also willkürlich eine auswählst). Das sind gegebene Konstanten.

Aber r ist ein laufender Parameter, mit seiner Veränderung bewege ich mich ja entlang der Geraden. Nun muss aber obige Gleichung bei fest vorgegebenen a,b,c und d für jedes x-beliebiger r gelten (wenn du die Ebenengleichung in der Hesseschen Normalform denkst, dann ist d ja der Abstand der Geraden, und der darf sich bei Veränderung von r nicht ändern, die Geradi ist ja parallel zur Ebene). Und das ist nur möglich, wenn der Koeffizient bei r den Wert null hat. Nur so hat das Verändern von r auf die in der Gleichung angegebene Beziehung zwischen den Konstanten a,b,c und d keinen Einfluss.

Die Gleichung ax+by+2(b-a)z=d ist die Gleichung einer Ebene, die Parallel zur gegebenen Geraden verläuft. Um die Ebene noch so zu verschieben, damit sie die Gerade g enthält, mussten wir nur noch das d in geeigneter Weise fixieren. Ein Verändernd von d hat ja für die Ebene nur die Bedeutung, dass sie parallel verschoben wird. Der Normalenvektor ist und bleibt ja (a/b/2b-2a). Und durch das Einsetzen des Punktes (1/-1/4) konnten wir eben dieses d noch fixieren.

Nun zur zweiten Aufgabe: du hast sie vielleicht nicht ganz verstanden: Die Ebene muss die Gerade nicht unbedingt enthalten, die Gerade muss nur Parallel zur Ebene sein, ebenso wie die x-Achse.

Dein Anfang ist also korrekt, aber nur bis hierhin:

ax+2(a+c)y+cz=d

Damit haben wir eine Gerade, die parallel zur gegebenen Geraden verläuft. Hier müssen wir aber die Ebene nicht mehr so parallel verschieben, dass sie die Gerade enthält! Wir lassen d also als Parameter stehen! Aber, wie du es richtig gemacht hast: a muss null gesetzt werden, damit die Ebene auch parallel zur x-Achse verläuft:

2cy+cz=d

Die ganze Gleichung kann noch durch c dividiert werden:

2y+z=d/c

und d/c kann mit einem anderen Buchstaben bezeichnet werden, z.B. t:

2y+z=t

Hier ist nun t der Parameter, und eine Veränderung von t bedeutet wieder eine Parallelverschiebung der Ebene. wenn du z.B. t=0 wählst, dann ist die gegebene Gerade in der Ebene enthalten (die x-Achse übrigens auch, weil dann auch der Punkt (0/0/0) die Gleichung erfüllt.

Alles klar?

Ich hoffe, ich habe mich nirgends verrechnet. Bitte alles sorgfältig nachvollziehen!

Gruss

Paul

Dankeschön für die Mühe und Hilfe! Jetzt hab ich es endlich verstanden :), das mit dem r ist jetzt klar, und ich denke jetzt hab ich auch die Funktion von d in dem ganzen richtig verstanden. Ohne Hilfe hätte ich das nicht so verinnerlichen können... Vielen vielen Dank :D !!

Gruß

Chrissi