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Ebenenscharen, Gradenscharen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ebenenschar, Gradenschar, Vektor

tanta aktiv_icon

11:02 Uhr, 11.03.2012

Gegeben ist die Gradenschar

x = (1, a, 2) + t \cdot (2, 1, - 1)

(die Klammern sollen Vektoren darstellen)

Nun gibt es zu solchen Gradenscharen zwei Aufgaben Typen:

1)

Alle Graden gehen durch einen gemeinsamen Punkt

S,

wie lautet dieser Punkt?

2)

Alle Graden liegen in der Ebene

E,

gesucht ist eine Gleichung für E?

Wie würde man sie lösen?

Gegeben ist nun eine Ebenenschar:

ax-y+2z=8a

1)

Alle Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgrade, ermitteln Sie diese Gleichung.

2)

Geben sie Punkte an die alle Ebenen gemeinsam haben.

Ich weiß nicht wie man einen solchen aufgaben Typ lösen soll. Deshalb wäre es super, wenn ihr mir den Ansatz geben könntet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Werner-Salomon aktiv_icon

19:45 Uhr, 11.03.2012

Die Geradenschar

\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 2 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

kann keinen gemeinsamen Punkt haben!

Wenn man sich aus der Schar zwei beliebige Geraden mit unterschiedlichem a anschaut, meinetwegen mit a=0 und a=1, dann haben sie verschiedene Startpunkte aber die selbe Richtung, sind also parallel.
Und zwei nicht identische parallel Geraden haben keine Schnittpunkt und demzufolge auch keinen gemeinsamen Punkt.

zu 2)
vorausgesetzt die Aufgabenstellung sei korrekt, kann man in diesem Fall a einfach als zweiten Parameter der Ebene betrachten. Nimmt man a aus dem Vektor heraus, so erhält man die Parameterform der Ebene

\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 2 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} 0 \\ a \\ 0 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}) + a (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

Gruß
Werner

tanta aktiv_icon

21:42 Uhr, 11.03.2012

Super, das mit der Gradenschar habe ich jetzt verstanden. Wie geht das aber mit der Ebenenschar?

tanta aktiv_icon

21:57 Uhr, 11.03.2012

So zur Gradenschar habe ich auch noch mal eine Frage.
So die Richtige Grade lautet:

x = (1, - 1, a) + t (- 1, 3, a - 3)

So jetzt setze ich für a Werte ein und was mache ich danach?

Werner-Salomon aktiv_icon

22:48 Uhr, 11.03.2012

Bei der Ebenenschar muss man versuchen, die Gleichung so umzustellen, dass man eine Bedingung findet, die dafür sorgt, dass das a die Gleichung nicht mehr verändert. Also wenn irgendwann da steht

a * (B e d i n g u n g) + e g a l = i r g e n d w a s - o h n e - a

wenn man hier Bedingung=0 setzt, so verändert a die Gleichung nicht mehr. In dem Fall

a x - y + 2 z = 8 a

kann man schreiben

a x - 8 a - y + 2 z = 0

a (x - 8) - y + 2 z = 0

d.h. wenn x=8 ist, ist die Gleichung gegenüber Veränderung von a invariant.
es bleibt

- y + 2 z = 0

man nimmt jetzt eine der beiden Koordinaten als freie Variable t und berechnet die andere - ich wähle hier y. Dann ist

- t + 2 z = 0

bzw.

z = \frac{t}{2}

Wir brauchen noch einen Stützpunkt der Geraden, dazu kann man für y oder z einen beliebigen Wert wählen und den anderen berechnen, so dass die Gleichung immer erfüllt ist. Also z.B. y=0 dann ist z auch =0. Anschließend folgt daraus die Gleichung der Geraden

\vec{g} = (\begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{array})

soviel zu der Ebenenschar

Werner-Salomon aktiv_icon

22:54 Uhr, 11.03.2012

Bei der Geradenschar

\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 2 \end{array}) + t (\begin{array}{c} 2 \\ a \\ - 1 \end{array})

machst Du es genauso wie bei der Ebenenschar. Man versucht die Gleichung so umzustellen, dass irgendwo a*(Bedingung) da steht. Und sonst das a nirgendwo mehr auftaucht. Also hier

\vec{x} = (\begin{array}{c} 1 + 2 t \\ a + t a \\ 2 - t \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + 2 t \\ a (1 + t) \\ 2 - t \end{array})

wenn t=-1 ist, fällt a wieder raus.
Einsetzten ergibt

\vec{x} (t = - 1) = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

.. ich glaub', den Rest schaffst Du alleine.

Gruß
Werner

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