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Echte Potenz

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Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Hiho12345 aktiv_icon

14:33 Uhr, 24.10.2023

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?
Eine echte Potenz ist eine natürliche Zahl der Form $a^{b},$ wobei a und $b$ natürliche Zahlen mit $b > 1$ sind. Wie viele natürliche Zahlen, die eine ein- oder zweistellige Dezimaldarstellung besitzen, sind echte Potenzen? Begründen Sie Ihre Aussage.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

14:40 Uhr, 24.10.2023

"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Sehr gut.
Dann nenn doch mal ein oder ein paar Beispiele.

Du wirst sehen, mit Beispiel-Sammlung kommst du sehr sehr sehr schnell ans Ziel - viel schneller, als einen onlinemathe-Thread zu erstellen.

Hiho12345 aktiv_icon

14:43 Uhr, 24.10.2023

Ich habe leider keinen Ansatz. Ich verstehe die Aufgabe ehrlich gesagt nicht. Kannst du mir da helfen?

HAL9000

14:47 Uhr, 24.10.2023

Schreib alle Quadratzahlen $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots$ auf, solange du noch höchstens zweistellig bleibst.
Dasselbe mit den dritten Potenzen $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, \dots$ .
Dasselbe mit den fünften Potenzen $1^{5}, 2^{5}, \dots$ .

Die vierten und sechsten Potenzen kannst du dir sparen, denn die sind durch die Quadrate alle schon erfasst.
Alle Potenzen ab Exponent 7 sind wegen $2^{7} \geq 128$ mindestens dreistellig.

michaL aktiv_icon

14:47 Uhr, 24.10.2023

Hallo,

> Ich verstehe die Aufgabe ehrlich gesagt nicht.

Das ist schon schwerwiegend. Das musst du unbedingt sicherstellen.

Natürlich kann ich 2 als Potenz darstellen, etwa als $2^{1}$ oder $4^{\frac{1}{2}}$ .
Es geht aber um Potenzen $a^{b}$ , bei denen sowohl $a$ als auch $b$ natürliche Zahlen und insbesondere $b > 1$ gelten.

Es geht desweiteren darum, welche Zahlen nun einerseits von dieser Form und andererseits kleiner als 100 sind.

Es sind also nur knapp 100 Zahlen zu testen. Sollte schnell gehen.

Mfg Michael

HAL9000

14:50 Uhr, 24.10.2023

Korrektur: Ich wollte in der letzten Zeile natürlich schreiben $a^{b} \geq 2^{b} \geq 2^{7} = 128$ .

Hiho12345 aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.10.2023

Ich habe nun:
$0^{2} - 9^{2}$
$1^{3} - 4^{3}$
$1^{5} - 2^{5}$
$1^{7}$

Ist dann die Lösung also die Begründung?

HAL9000

16:31 Uhr, 24.10.2023

Das sind erstmal die Zahlen an sich. Gefragt ist aber nach der ANZAHL solcher Zahlen - genau die Aufgabenstellung lesen!

Beachte dabei, dass einige Zahlen mehrfach in deiner Auflistung vorkommen, beispielsweise die 1, aber auch $4^{3} = 8^{2} = 64$ - die dürfen insgesamt natürlich nur jeweils einmal gezählt werden.

Hiho12345 aktiv_icon

16:39 Uhr, 24.10.2023

Das war mir klar.
Ich habe $13$ gezählt. Wie geht es dann weiter? Also was ich mit begründen gemeint

calc007

16:46 Uhr, 24.10.2023

Hmmmmmm, viele Köche verderben den Brei.
Darf ich mal in meinen Worten...
Willst du erst mal klarstellen, ob du nun die Null $(0)$ als natürliche Zahl berücksichtigen willst, oder nicht?

Dann glaube ich aus deinen Andeutungen vervollständigend die Beispiele lesen zu können:
$(0^{2} = 0)$
$1^{2} = 1$
$2^{2} = 4$
$3^{2} = 9$
$4^{2} = 16$
$5^{2} = 25$
$6^{2} = 36$
$7^{2} = 49$
$8^{2} = 64$
$9^{2} = 81$

$(0^{3} = 0)$
$1^{3} = 1$
$2^{3} = 8$
$3^{3} = 27$
$4^{3} = 64$

$(0^{4} = 0)$
$1^{4} = 1$
$2^{4} = 16$
$3^{4} = 81$

$(0^{5} = 0)$
$1^{5} = 1$
$2^{5} = 32$

$(0^{6} = 0)$
$1^{6} = 1$
$2^{6} = 64$

$(0^{7} = 0)$
$1^{7} = 1$

$(0^{8} = 0)$
$1^{8} = 1$

$...$ .
$(0^{n} = 0)$
$1^{n} = 1$

Ja, das sind alles Beispiele zwei-stelliger Zahlen (zweistelliger 'echter Potenzen').
$. .$ . die sich aber wiederholen.
Willst du nochmals sortieren und Wiederholungen zusammenfassen?

calc007

16:51 Uhr, 24.10.2023

sorry, ich hatte deine Antwort $16 : 39 h$ noch nicht gelesen.
Du sprichst von $13$ 'echten Potenzen'.
Das kommt schon ganz nahe hin.
Willst du die uns und dir nochmals vor Augen führen - damit wir vom Gleichen reden?

Wie gesagt:
mit Beispiel-Sammlung kommst du sehr sehr sehr schnell ans Ziel - viel schneller, als alles fünfmal rückfragen zu müssen.

Hiho12345 aktiv_icon

16:57 Uhr, 24.10.2023

1:
$1^{2} = 1$
$1^{3} = 1$
.
.
.
$1^{n} = 1$

2:
$2^{2} = 4$

3:
$3^{2} = 9$

4:
$4^{2} = 16$
$2^{4} = 16$

5:
$5^{2} = 25$

6:
$6^{2} = 36$

7:
$7^{2} = 49$

8:
$8^{2} = 64$
$4^{3} = 64$
$2^{6} = 64$

9:
$9^{2} = 81$
$3^{4} = 81$

$10 :$
$2^{3} = 8$

$11 :$
$3^{3} = 27$

$12 :$
$2^{5} = 32$

So also $12$ verschiedene Zahlen richtig?

calc007

17:02 Uhr, 24.10.2023

Aus deiner letzten Ausführung wage ich endlich schlussfolgern zu dürfen, dass du die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählen willst.

Ich hätte es in aufsteigender Reihenfolge bevorzugt.
Aber ich glaube, so stimmt die Anzahl, und hoffentlich hast du jetzt auch verstanden, woher es kommt.

Hiho12345 aktiv_icon

17:06 Uhr, 24.10.2023

Ja das habe ich verstanden.

Wir sollen ja unsere Antwort begründen. Ist die Aufzählung die Begründung?

calc007

17:09 Uhr, 24.10.2023

Na ja, nach einigen Rückfragen hast du dir und uns klar gemacht, wie du zu deiner Zählung gekommen bist.
Ich denke, wenn du das deinem Tutor so aufzeigst, wie du hierzu gekommen bist, sollte das im Sinne einer Klassenarbeit als Begründung genügen.

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