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Effektivwert einer pulsförmigen Wechselspannung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

BDI0306 aktiv_icon

15:34 Uhr, 03.04.2021

Hallo zusammen,

ich habe die folgende Aufgabe bekommen: berechnen Sie den Effektivwert einer pulsförmigen Welchselspannung nach Einweggleichrichtung.

das ganze sieht dann so aus, dass ich eine positive Sinushalbwelle von 0 bis

\frac{T}{2}

habe und der graph danach (von

\frac{T}{2}

bis T) auf 0 ist.

lang lang ists her, daher wollte ich zu beginn einfach noch einmal den Effektivwert einer Sinusschwingung herleiten, aber da fängt die Misere schon an.....

frohen mutes fange ich also an:

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A^{2} * s i n^{2} (ω t) d t

nach ein bißchen aus und umklammern und hin und her substituieren komme ich dann auf

\frac{A^{2}}{T} \int_{0}^{T} s i n^{2} (x) \frac{1}{ω} d x

und schließlich auf

\frac{A^{2}}{2 ω T} ∣ - \frac{c o s (2 x)}{2} ∣_{0}^{T}

mit

x = ω t

und hier kome ich nicht weiter, vermutlich ein ganz blöder denkfehler aber ich rechne dann das Integral in den grenzen und komme auf

\frac{A^{2}}{2 ω T} * [- \frac{c o s (2 ω 0)}{2} - - \frac{c o s (2 ω T)}{2}]

wie soll ich jetzt hieraus auf

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

kommen?

ich danke im Voraus und liebe Grüße

Bene

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

15:52 Uhr, 03.04.2021

Hallo
den

cos

von 0 und vielfachen von

π

sollte man kennen und den Zusammenhang zwischen

ω

und

T

auch , aber dein Ergebnis für die Stammfunktion scheint mir falsch
ohne Stammfunktion

: \int_{0}^{T} {sin}^{2} (2 \frac{π}{T} \cdot t) d t = \int_{0}^{T} {cos}^{2} (2 \frac{π}{T} \cdot t) d t

deshalb

\int_{0}^{T} {sin}^{2} (2 \frac{π}{T} \cdot t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} 1 d t = \frac{T}{2}

Gruß ledum

BDI0306 aktiv_icon

00:03 Uhr, 04.04.2021

Hallo und vielen Dank schon mal.

Die Cosinüsse von

Π

sind mir geläufig. Der Zusammenhang von

ω

und T eher nicht. ich bin jedoch davon ausgegangen, dass bei der Betrachtung einer Periode das ganze Frequenzunabhänhig ist und ich das

ω

daher vernachlässigen kann.

Die Stammfunktion ist in der Formelsammlung mit

s i n^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 x)

angegeben.

ich drösel meine Rechnungen noch mal auf, vieleicht wird der Fehler ja dann sichtbarer:

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} A^{2} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{0}^{T} s i n^{2} (ω t) d t

x = ω t

t = \frac{x}{ω}

t ʹ = \frac{1}{ω}

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{0}^{T} A^{2} s i n^{2} (x) d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{0}^{T} A^{2} s i n^{2} (x) \frac{1}{ω} d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T ω} ∣ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 ω t) ∣_{0}^{T}

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T ω 2} ∣ - \frac{1}{2} c o s (2 ω t) ∣_{0}^{T}

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T ω} [- \frac{c o s (2 ω 0)}{2} - - \frac{c o s (2 ω 2 Π)}{2}]

also (wenn ich das

ω

vernachlässige

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 Π} [- \frac{c o s (0)}{2} - - \frac{c o s (4 Π)}{2}]

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 Π} [- \frac{1}{2} - - \frac{1}{2}]

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 Π} [0]

und das ist offenbar falsch.

ledum aktiv_icon

00:27 Uhr, 04.04.2021

Du kannst

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} - cos (2 x)

schreiben um leichter eine Stammfunktion zu finden, aber es ist nicht die Stammfunktion!D.h. deine Stammfunktion ist einfach falsch!
eigentlich musst du das sehen, da ja der

cos

mal positiv, mal negativ ist und periodisch

{sin}^{x}

ist immer positiv,

d . h

. das Integral muss mit wachsendem

x

wachsen!
warum leuchtet dir meine Rechnung nicht ein? Aber du kannst auch

\frac{1}{2} - cos (2 x)

integrieren, wenn du lieber mit Stammfunktionen als einfachen Überlegungen umgehst.
Gruß ledum

BDI0306 aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.04.2021

Hallo,
der Hinweis mit der Stammfunktion war sehr gut, tatsächlich ist in der Formelsammlung fälschlicherweise

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 x)

als Stammfunktionb von

s i n^{2} (x)

falls hier noch mal jemand nachliest, im weiteren bin ich auch darauf reingefallen, dass ich aus

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 x)

dann in der Stammfunktion am besten

\frac{1}{2} \int - s i n (2 x) \frac{1}{2} d x + \frac{1}{2} \int x d x

mache.

ich bedanke mich vielmals!

Enano

16:31 Uhr, 12.04.2021

Hallo,

wie sieht denn jetzt deine gesamte Rechnung aus und zu welchem Ergebnis bist du gekommen?

"wie soll ich jetzt hieraus auf

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

kommen?"

Darauf solltest du besser nicht kommen, denn das ist falsch.

BDI0306 aktiv_icon

15:13 Uhr, 13.04.2021

So, dem Wunsch die gesamte lösung noch einmal zu verfassen komme ich natürlich gerne nach. Wobei ich direkt den Vorredner korrigieren muss,

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

ist ziemlich richtig.

wie bin ich nun darauf gekommen?

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{\infty} A^{2} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) \frac{1}{2 ω} d x

mit

d t = \frac{1}{2 ω} d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 ω T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{2 π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{2 π})

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

entsprechend für die pulsförmige Sinushalbwelle mit den Grenzen

0

bis

π

und der Periodendauer

2 π

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{π})

U_{e f f} = \frac{A}{2}

BDI0306 aktiv_icon

15:15 Uhr, 13.04.2021

So, dem Wunsch die gesamte lösung noch einmal zu verfassen komme ich natürlich gerne nach. Wobei ich direkt den Vorredner korrigieren muss,

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

ist ziemlich richtig.

wie bin ich nun darauf gekommen?

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{\infty} A^{2} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) \frac{1}{2 ω} d x

mit

d t = \frac{1}{2 ω} d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 ω T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{2 π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{2 π})

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

entsprechend für die pulsförmige Sinushalbwelle mit den Grenzen

0

bis

π

und der Periodendauer

2 π

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{π})

U_{e f f} = \frac{A}{2}

BDI0306 aktiv_icon

15:15 Uhr, 13.04.2021

So, dem Wunsch die gesamte lösung noch einmal zu verfassen komme ich natürlich gerne nach. Wobei ich direkt den Vorredner korrigieren muss,

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

ist ziemlich richtig.

wie bin ich nun darauf gekommen?

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{\infty} A^{2} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} s i n^{2} (ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (2 ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) \frac{1}{2 ω} d x

mit

d t = \frac{1}{2 ω} d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 ω T} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} c o s (x) d x

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{2 π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{2 π})

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

entsprechend für die pulsförmige Sinushalbwelle mit den Grenzen

0

bis

π

und der Periodendauer

2 π

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{4 ω π} (∣ - \frac{1}{2} s i n (2 ω t) ∣_{0}^{π} + ∣ \frac{1}{2} 2 ω t ∣_{0}^{π})

U_{e f f} = \frac{A}{2}

Enano

19:21 Uhr, 13.04.2021

Vielen Dank für deine Mühe, aber einmal hätte gereicht.;-)

"Wobei ich direkt den Vorredner korrigieren muss,

U_{e f f} = \frac{A}{\sqrt{2}}

ist ziemlich richtig."

Dann haben wir uns wohl mißverstanden, denn ich meinte den Effektivwert einer Wechselspannung nach Einweggleichrichtung, nach dem in der Aufgabe gefragt wird und du meinst jetzt offensichtlich dein Zwischenergebnis, dass aber nicht unbedingt gebraucht wird, um auf das richtige Ergebnis zu kommen:

U_{e f f}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} A^{2} \cdot {sin}^{2} (ω t) d t

{sin}^{2} (ω t) = \frac{1}{2} \cdot (1 - cos (2 ω t))

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} 1 - cos (2 ω t) d t

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 T} \cdot {[t - \frac{sin (2 ω t)}{2 ω}]}_{0}^{\frac{T}{2}} = \frac{A^{2}}{2 T} \cdot (\frac{T}{2} - \frac{sin (2 ω \cdot \frac{T}{2})}{2 ω})

ω = 2 \cdot π \cdot f = 2 \cdot π \cdot \frac{1}{T}

U_{e f f}^{2} = \frac{A^{2}}{2 T} \cdot (\frac{T}{2} - \frac{sin (2 \cdot 2 \cdot π \cdot \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2})}{2 \cdot 2 \cdot π \cdot \frac{1}{T}}) = \frac{A^{2}}{2 T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{A^{2}}{4}

U_{e f f} = \sqrt{\frac{A^{2}}{4}} = \frac{A}{2}

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