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Effektivzinsrechnung mit Versuchszinssätzen

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Effektivzinssatz, zins, Zinseszins

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21:19 Uhr, 26.10.2018

Guten Abend,

ich versuche nun seit über 2 Stunden eine eigentlich triviale Zinsaufgabe zu lösen, komme aber leider nicht zum korrekten Ergebnis. Das, laut Musterlösung, richtige Ergebnis beträgt:

9,3056 %

Hier die Aufgabe:

Eine staatliche Anleihe wird mit

7,5 % p

a

. nominal verzinst. Sie hat einen Nennwert von

100

Euro, eine Restlaufzeit von 6 Jahren und wird derzeit zu einem Kurs von

92

Euro angeboten.
a)Welche Effektivverzinsung (Rendite) können Sie erzielen, wenn Sie diese Anleihe heute erwerben und dann bis zum Ende der Laufzeit halten? (Versuchszinssätze

9 %

und

10 %)

Mein Lösungsansatz:

Nennwert: 100€; Nominalwert: 92€; Nominalzins:

7.5 %;

Laufzeit: 6 Jahre

i(eff)=

100 \cdot (\frac{7.5 + (\frac{100 - 92}{6})}{92})

i(eff)=

9,601 %

Mein Ergebnis weicht vom Lösungsergebnis ab und ich finde leider keinen Weg die Versuchszinssätze zu verwenden... ansonsten könnte ich die beiden Ergebnisse der Versuchszinsen linear interpolieren. Ich denke dies wird der korrekte Weg sein, aber welchen ich, da ich nicht weiß wie ich die Veruschszinssätze verrechnen soll, beschreiten kann.

Wenn jemand mir einen Tipp oder eine Formel zeigen kann, in welche ich die Versuchszinsen einfügen kann, wäre das super.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Enano

04:04 Uhr, 27.10.2018

Guten Morgen,

"dynamische Verfahren" über der Aufgabenstellung und die Angabe von Versuchszinssätzen deuten darauf hin, dass du auch die Zinseszinsen berücksichtigen sollst, was du aber bei deinem Lösungsansatz nicht getan hast.
Die Rendite oder der Effektivzinssatz könnte

z . B

. über folgende Äquivalenzgleichung
berechnet werden:

C_{0} = p \cdot \frac{q^{n} - 1}{(q - 1) \cdot q^{n}} + \frac{C_{n}}{q^{n}}

C_{0} . .

. Preis für den Erwerb der Anleihe im Nennwert von 100€.

C_{0}

ist der mittels Effektivzinssatz abgezinste Barwert sämtlicher zukünftiger Gegenleistugen aus der Anleihe. Er ergibt sich aus der Abzinsung von

C_{n}

und der der jährlichen Zinszahlungen über die gesamte Laufzeit.

p . .

. Nominalzinssatz, jährliche Zinszahlung pro 100€ Nennwert, erste Zahlung ein Jahr
nach Erwerb, letzte Zahlung bei Rücknahme.

C_{n} . .

. Rücknahmekurs am Ende der Laufzeit von

n

Jahren.

q = 1 + i_{e f f} . .

. effektiver Jahreszinsfaktor

i_{e f f} . .

. Rendite oder Effektivzinssatz.
Bei diesem Zinssatz ist die Leistung des Käufers der Anleihe äquivalent zu den Gegenleistungen des Emittenten.

Weil diese Gleichung elementar nicht nach

q

auflösbar ist, solltst du mit den Versuchszinssätzen rechnen und ggf. interpolieren.

Hilft dir das weiter?

Gruß
Enano

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06:13 Uhr, 27.10.2018

Wenn man von einem Versuuchszins

(=

Marktzins für die Wiederanlage der Zinsen) von

9 %

ausgeht,
ergibt sich:

Endwertvergleich:

7,5 \cdot \frac{{1,09}^{6} - 1}{0,09} + 100 = 92 \cdot q^{6}

q = 1,0925 - \to

Effektivzins

i = 9,25 %

.

Analog für

q = 1,1

statt

1,09

b)

Gesuchter Wiederanlagezinssatz /interner Rechnungszins:

7,5 \cdot \frac{q^{6} - 1}{q - 1} + 100 = 92 \cdot {1,095}^{6}

q = 1,10491 - \to i = 10,491 %

Die Anlage lohnt sich nicht, weil der Versuchszins zu gering ist.

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13:46 Uhr, 27.10.2018

Vielen Dank für deine Antwort. Leider bin ich auch mit dieser Formel nicht auf das gewünschte Ergebnis gekommen.

Wenn ich die Versuchszinssätze

9 %

und

10 %

einsetze müsste einmal etwas

< 100

und

> 100

herrauskommen, aber leider liegen die Werte bei

88.5

und

84.596

.

Ich habe folgende Werte eingesetzt:

p = 7.5

q = 1.09

bzw.

1.1

n = 6

C (n) = 92

Hast du eventuell noch einen Lösungsansatz für mich?
Gruß

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13:49 Uhr, 27.10.2018

Vielen Dank für deine Antwort. Wenn ich deine Formel verwende erhalte ich für:

1.09 = 0.092496

und

1.1 = 0.09332

herraus. Das kommt dem ganzen schon recht nahe, aber ich bekomme die Werte nicht interpoliert. Ich habe folgendes versucht:

1.1 - (0.094168 \cdot (\frac{1.1 - 1.09}{0.094168 - 0.09246})

ungleich

0.093056

Welche Werte habe ich falsch eingesetzt?

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13:50 Uhr, 27.10.2018

Was genau bedeutet Versuchszinssatz? Ich haben diesen Begriff noch nie gehört.
Was meint hier Versuch?

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13:55 Uhr, 27.10.2018

Im Rahmen zur Bestimmung des internen Zinsfußes kann man duch lineare Interpolation diese bestimmen. Damit nicht jeder andere Zinssätze verwendet, sind diese vorgegeben. Der eine Zinssatz über, der andere unterhalb dem internen Zinsfuß. Anschließend werden diese Werte zusammeninterpoliert um einen ungefähren Wert des internen Zinsfußes zu erhalten, da bei den dynamischen Verfahren dieser sonst nicht per Hand errechnet werden kann. Dabei gilt natürlich je näher die Versuchszinssätze beieinander liegen, desto genauer das Ergebnis.

In etwa so wie siehe Bild.

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14:15 Uhr, 27.10.2018

Ich sehe dass so:

a)

hier müsste die Rendite/Effektivverzinsung vorgegeben sein und den internen Zins zu ermitteln um diese zu erzielen

b)

Hier kann man nach meiner Formel und einem Rechner (wolphram

z . B .)

den internen Zins leicht berechnen, der notwendig ist, die gewünschte Rendite zu erzielen.
Mein Ergebnis sollte stimmen.

Oder missverstehe ich da etwas?

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14:23 Uhr, 27.10.2018

Also bei

a)

bin ich mit deiner Formel schon ganz nah dran. Kann ich die Werte die dabei herrauskommen irgendie interpolieren?

1.09 = 0.092496

und

1.1 = 0.094168

\frac{2}{0.092496 + 0.094168} = 0.093332

Das Ergebnis in der Lösung ist

0.093056

b)

Da muss muss ich dann

m

. M.

n

. nurnoch bestätigen, dass

9,3056 % < 9,5 %

ist und dies demnach einer nicht ausrechenden Mindestverzinsungs entstpricht. Also ist

b)

nur noch die Ergebniskontextualiesierung.

Enano

14:29 Uhr, 27.10.2018

Du brauchst nur die von mir genannte Formel anwenden , indem du für

p = 7,5,

für

C_{n} = 100

und für

q

einmal

1,09

und einmal

1,1

einsetzt.
Dann erhältst du zwei unterschiedliche

C_{0}

und kommst durch lineare Interpolation genau auf das Ergebnis, das angegeben wurde.

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14:34 Uhr, 27.10.2018

Das war ja genau das was ich meinte, aber leider setze ich anscheinend die falschen Werte zur Interpolation ein...

: (

Siehe Bild

Welche Werte hast du eingesetzt für

i 1, i 2, C 1, C 2

?

Ich will diese blöde Aufgebe jetzt einfach einmal durchrechnen und die Vorgehensweise dieser Aufgabenstellung abspeichern, um diese dann gleich noch an den beiden anderen Aufgeben zu üben.

ich habe ja bereits für

1.09

und

1.1

eingesetzt, aber schaffe es nur nicht richtig zu interpolieren.

Enano

14:39 Uhr, 27.10.2018

Bei

9 %

komme ich auf einen Barwert bzw. Kaufpreis von

93,2711,

bei

10 %

auf einen von

89,1118

.
Durch Interpolation komme ich auf

0,3056 %,

die zu den

9 %

addiert werden müssen:

\frac{4,1593}{1} = \frac{1,2711}{x}

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14:48 Uhr, 27.10.2018

Okay Enano, ich habe im hinterren Bruch in den Zähler

92

statt

100

eingesetzt. Nun komme ich auch auf deine Werte.
Aber meine Interpolation sieht wie folgt aus:

1.1 - (89.11 \cdot \frac{1.1 - 1.09}{89.11 - 93.27}) = 1.3142

wie hast du interpoliert?

Enano

14:55 Uhr, 27.10.2018

\frac{(93,2711 - 92) \cdot 1}{93,2711 - 89,1118} = 0,3056

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15:03 Uhr, 27.10.2018

Vielen Dank euch beiden, ihr habt mir super geholfen :-)

Supporter, wenn du möchtest kannst du mir gerne auch noch einmal deinen Weg der Interpolation aufschreiben, da mich dieser dann auch sehr interessieren würde.

Vielen Dank

PS: um mit meinem Rechenweg zu Arbeiten hätte ich erste die Batwerte von

92

abziehen müssen.

1.1 - (- 2.89 \cdot (\frac{1.1 - 1.09}{- 2.89 - 1.27}) = 9.3056 %

Enano

15:26 Uhr, 27.10.2018

"Welche Werte hast du eingesetzt für i1,i2,C1,C2?"

Ich habe anders gerechnet, aber wenn du analog zu der Rechnung in deinem Bild vorgehen würdest, wären:

i_{1} = 9, i_{2} = 10, C_{2} = 93,2711

und

C_{1} = 89,1118,

so dass du folgende Gleichung erhältst:

\frac{10 - 9}{93,2711 - 89,1118} = \frac{10 - i_{0}}{92 - 89,1118}

Wenn du die nach

i_{0}

auflöst und ausrechnest solltest du

9,3056

erhalten.

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