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Eigenräume berechnen

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Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Eigenraum, Eigenwert, Vektorraum

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13:54 Uhr, 16.12.2009

$A = (\begin{matrix} 1 & - 3 & 3 \\ 3 & - 5 & 3 \\ 6 & - 6 & 4 \end{matrix}) B = (\begin{matrix} - 3 & 1 & - 1 \\ - 7 & 5 & - 1 \\ - 6 & 6 & - 2 \end{matrix})$

a) Bestimme die Eigenwerte. OK, habe ich verstanden.

b) Bestimme die Eigenräume zu den jeweiligen Eigenwerten von A und B.

c) Sind die beiden Matrizen diagonalisierbar?

Wie muss ich b), respektive c) anpacken?

Liebe Grüsse

Benjamin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

naibaF

15:29 Uhr, 16.12.2009

Hey!

also wenn du die Eigenwerte schon berechnet hast muss du zur ermttlung der Eigenräume einfach folgendes homogenes Gleichungssystem lösen:

(A - y \cdot E) \cdot X = 0

Dabei ist A deine ursprüngliche Matrix,

y

dein Eigenwert und

E

die Einheitsmatrix.Das machst du dann mit jedem Eigenwert den du raus hast.

und um rauszubekommen ob die Matrix diagonalisierbatr ist musst du einfach nur schauen ob die Vektoren deiner Eigenräume eine Basis von deinem urspünglichen Raum bilden (wenn ich mich nich irre, das ist schon wieder ne Weile her;-))

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17:49 Uhr, 16.12.2009

Ich erhalte folgende Eigenwerte: -2, -2, 4

Polynom: $x^{3} - 12 x - 16$

Deiner Formel nach muss ich also für den ersten Eigenwert -2:

$[(\begin{matrix} 1 & - 3 & 3 \\ 3 & - 5 & 3 \\ 6 & - 6 & 4 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})] * X = 0$

dieses Gleichungssystem auflösen?

Jetzt frage ich mich, wie technisch funktioniert. Muss ich zeilenweise vorgehen? Oder wie kann ich das Gleichungssystem lösen?

Vielen Dank für Deine Hilfe.

naibaF

18:14 Uhr, 16.12.2009

Naja das in der Klammer kannst du erstmal ausrechnen

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 3 \\ 3 & - 5 & 3 \\ 6 & - 6 & 4 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 & - 3 & 3 \\ 3 & - 3 & 3 \\ 6 & - 6 & 6 \end{matrix})

.
also hast du

(\begin{matrix} 3 & - 3 & 3 \\ 3 & - 3 & 3 \\ 6 & - 6 & 6 \end{matrix}) \cdot X = 0

Hoffe das hilft dir erstmal weiter.
mfg

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21:06 Uhr, 16.12.2009

Okk alles klar...dann rechne ich das so?

$((\begin{matrix} 1 & - 3 & 3 \\ 3 & - 5 & 3 \\ 6 & - 6 & 4 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})) \cdot X = 0 = > (\begin{matrix} 3 & - 3 & 3 \\ 2 & - 3 & 3 \\ 6 & - 6 & 6 \end{matrix}) (x 1, x 2, x 3) = 0$

3x1 - 3x2 + 3x3 = 0

2x1 - 3x2 +3x3 = 0

6x1 - 6x2 + 6x3 = 0

Dann wäre eine Lösung x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ?

Was ist denn hier jetzt der Eigenraum?

Danke und Gruss!

naibaF

08:27 Uhr, 17.12.2009

Deine zweite Gleichung ist nicht ganz richig:

3 x_{1} - 3 x_{2} + 3 x_{3} = 0

dann sind deine drei Zeilen linear abhängig.
Also suchst du dir einfach eine raus und stellst die nach einer Variablen um.

z . b . :

x_{1} = x_{2} - x_{3}

mit

x_{2} = x_{2} + 0 x_{3}

und

x_{3} = 0 x_{2} + x_{3}

mit

x_{2} = t

und

x_{3} = s

ergibt sich dann folgender Eigenraum:

{x

ℝ^{3} | x = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}

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