 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Eigenräume diagonalisierbarer Endomorphismen
Eigenräume diagonalisierbarer Endomorphismen
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Tags: Diagonalisierbarkeit, Direkte Summe, Eigenraum, Eigenwert, Endomorphismus
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen :-) Ich verzweifle gerade an der folgenden Aufgabe: Seien zwei diagonalisierbare Endomorphismen von von ( ist ein endlich erzeugter K-Vektorraum), so dass . Die verschiedenen Eigenwerte von und seien bzw. und die zugehörigen Eigenräume bzw. . Nun zur eigentlichen Aufgabe: Man zeige: Es gilt für alle . Nun die Dinge, die ich weiß: Ich muss zunächst zeigen, dass die direkte Summe überhaupt die Summe ist und dann, dass die Vereinigung der Summanden nur die Null enthält. Was mit noch Sorgen bereitet: - Ich weiß nicht, was diese Aussage überhaupt "sagt", also ich kann mir nichts darunter vorstellen. - Ich bin noch nicht von der Gültigkeit der zu beweisenden Aussage überzeugt... - Ich komme mit den ganzen Informationen bei den Voraussetzungen nicht klar. Kann mit jemand helfen? Ich möchte nicht, dass mir jemand einfach die Lösung vorsagt, sondern nur, dass mir jemand die Aufgabe etwas erklärt. Viele Grüße und Dank im Vorraus johnmath Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, > und dann, dass die Vereinigung der Summanden nur die Null enthält. Ich denke, du meinst den Durchschnitt statt der Vereinigung. > Ich weiß nicht, was diese Aussage überhaupt "sagt", also ich kann mir nichts darunter vorstellen. Das wäre aber gut. Manchmal "sagt" einem so ein Lemma auch nicht viel. Zumindest in dem Sinne, dass du eine höhere Wahrheit dahinter vermutest. Ich finde die Aussage ziemlich trivial. Sie besagt, dass der Unterraum sich als direkte Summe von Durchschnitten von Eigenräumen ergibt. Details sind in mathematischer Schreibweise deutlich besser verständlich als in deutscher Sprache. Und vermutlich geht es hier auch bloß genau darum, dass du die Aussage verstehst, ohne eine Vorstellung dazu zu benötigen. Sie soll dein Abstraktionsvermögen schulen. > Ich bin noch nicht von der Gültigkeit der zu beweisenden Aussage überzeugt... Cool. Da beginnt das Beweisen: Sich von der Gültigkeit einer Aussage zu überzeugen (selbst wenn man vielleicht sogar [emotionale] Einwände hat). > Ich komme mit den ganzen Informationen bei den Voraussetzungen nicht klar. Mit welchen? Es steht alles in der Aufgabe. Mfg Michael |
 |
|
Hallo michaL, ich habe mir schon gedacht, dass es da nicht viel nützt sich etwas darunter vorzustellen. Aber wie gehe ich da nun ran? Mein erster Ansatz wäre zu zeigen, dass das Ganze überhaupt die Summe ist. Dafür müsste ich aber einen Vektor aus den geschnittenen Eigenräumen ersteinmal darstellen, um dann zu zeigen, dass die Summe dieser Vektoren aus den geschnittenen Eigenräumen ein Vektor aus dem Eigenraum ist. Wie mache ich das? Mein Ansatz: Sei . Dann gilt für alle : und . Jetzt habe ich für dieses aber nichts "handfestes", um die ganzen aufzusummieren... Ich hoffe du weißt, was ich meine. Viele Grüße johnmath |
|
|
|
Hallo, ja, du hältst dich an der falschen Stelle und mit den falschen Dingen auf. Bedenke, dass und diagonalisierbar sind, d.h. es gilt . Zudem solltest du erkennen, was eigentlich behauptet wird (und damit, was zu zeigen ist). Behauptet wird eine Mengengleichung (eigentlich mehrere, die du aber gemeinsam abfrühstücken kannst, wenn du den Index allgemein hältst): Zeige also die beiden Inklusionen "" und "". Offenbar ist "" trivial. Und für "" verwendest du dann, dass diagonalisierbar ist. Was das "Handfeste" anbelangt, so kann ich nur wiederholen, dass es unnötig ist. Es geht hier eher um Abstraktion! Vielleicht hilft dir, dass kommutierende Abbildungen (wie diese hier) simultan diagonalisiert werden können, d.h. es gibt eine gemeinsame Basis aus Eigenvektoren. Wenn ihr dieses Ergebnis schon hattet, dann kannst du eine solche Basis verwenden, damit wird "" ganz einfach. Wenn nicht, müssen wir vermutlich genau dieses Ergebnis hier heraus holen. Mfg Michael |
|
|
|
Hallo Michael, danke für deine Tipps! Dass man die Inklusionen einzeln zeigen kann, vergesse ich immer wieder ... Ich denke, dass ich das jetzt hinbekomme! :-) Viele Grüße johnmath |
 |
|
(Habe vergessen die Frage abzuschließen.) |
1366602
1366574