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Ereignisraum <-> sigma Algebra
Universität / Fachhochschule
Tags: Ereignisraum, Sigma Algebra
 
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Hallo zusammen, wir haben in der Vorlesung definiert: Ereignisraum= System von Teilmegen des Grundraums, den sog. Ereignissen, mit den Eigenschaften einer Algebra. Meinem Verständnis nach, muss eine Algebra aber nicht alle möglichen Teilnemngen einer Grundmenge (hier der Grunsraum) enthalten. Der Eigenraum aber schon. . in der oberen Definition würde diese zusätzliche Bedingung doch nohc fehlen. Oder sehe ich das falsch? Danke vorab :-) |
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Hallo, zunächst kommt mir die Bezeichnung Eigenraum merkwürdig vor. Sollte es vielleicht eher Ereignisraum heißen? Dann handelt es sich, wie Du schreibst, um eine Definition - da kann man alles festlegen. Also Ereignisraum= Menge aller Teilmengen des Grundraums. Diese Teilmengen nennt man Ereignisse. Die Menge aller Teilmengen ist natürlich eine sigma-Algebra. ODER Ereignisraum= Teilmenge der Menge aller Teilmengen des Grundraums, weil für eine konkrete Anwendung nicht alle Teilmengen des Grundraum relevante Ereignisse sind. Dann wird gefordert, dass diese Teilmenge auch sigma-Algebra ist. Gruß pwm |
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1) Die Menge aller Teilmengen einer Grundmenge nennt man "Potenzmenge" - dafür noch einen anderen Namen zu erfinden, macht nicht sonderlich viel Sinn. 2) In einem Wahrscheinlichkeitesraum bilden diejenigen Teilmengen der Grundmenge , die man Ereignisse nennt, GENAU die zu diesem W-Raum gehörenden Sigma-Algebra. Der Ereignisraum IST somit diese Sigma-Algebra. |
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Hallo, zunächst mal vielen Dank für deinen Hinweis, natürlich muss es Ereignisraum heißen. Mein Fehler, tut mir Leid. Wie haben die Definition im Zuge des Wahrscheinlichkeitsraums kennengelernt. Als Beispiele haben wir unterandrem aufgeführt: Ereignisraum Grundraum. Daher vermute ich, dass der Ereignisraum so wie er definiert wurde, genau wie die Algebra nicht alle möglichen Teilmengen enthalten muss. . so wie er definiert ist, ist der Ereignisraum eine mögliche Algebra auf den Grundraum. Ich war daher etwas verwirrt, da im Netz meist der Ereignisraum definiert wird als "Menge aller möglichen Teilmengen des Grundraums". Denn man will damit ausdrücken, welche Ereignisse alle bei einem Zufallsexperiment angegeben werden können. Bei einem Münzwurf wären das ja Kopf}, {Zahl}, {Kopf,Zahl} }. In der Vorlesung ist der Ereignisraum aber definiert als "Menge von Teilmengen des Grundraums". . am Beispiel Münzwurf betrachtet man bspw. nur Kopf} }. Ich kann aber nicht ganz nachvollzihen, wann letzteres "nützlich" werden kann. |
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Ok, . der Ereignisraum beinhaltet nur die Teilmengen, für die man Ereignisse definiert hat. Bspw. "Werfe Kopf", "Werfe Zahl". Die anderen zwei Fälle und lässt man dann bspw. außenvor? |
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Nein, auch das sind Ereignisse - das ergibt sich allein schon aus den Forderungen einer Sigma-Algebra. |
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Das verstehe ich jetzt nicht ganz. Bspw. Münzwurf: Es exisiteren folgende Teilmengen: . Nun kann man bspw. und als Ereignisse definieren. Damit ergibt sich die Menge der Ereignisse A zu . Damit ist der Grundraum Teil von A. Aber "nicht K" ist nicht Teil von genau so wenig "nicht Z,K". Damit ist A kein Ereignisraum. . gibt es dann überhaupt einen Ereignisraum, der nicht alle Teilmengen des Grundraums enthält? |
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EDIT: . die Ereignisse ergeben sich daraus, dass die Menge der zugehörigen Teilmengen eine Algebra auf den Grundraum bilden. Der Ereignisraum ist dann die Menge dieser Ereignisse. Bsp. Münzwurf: 1. Möglicher Ereignisraum: 2. möglicher Ereignisraum: Denn beide erfüllen die Beidngungen für eine Algebra Ist das korrekter? |
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Das wäre formal korrekt. Allerdings enthält Ereignisraum 1 keine Einzelereignisse wie {Z} oder {K}, und ist daher zur Beschreibung des Münzwurfs ziemlich nutzlos. Ein anderes Beispiel: Sei der Grundraum für den zweimaligen Münzwurf. Betrachten wir hier als Ereignisraum die Sigma-Algebra , dann ist dieser Ereignisraum nur in der Lage Ereignisse zu beschreiben, die ausschließlich das Ergebnis des ersten Münzwurfs betreffen. |
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Alles klar. Vielen Dank für eure Hilfe! |
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