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Eigenraum, Eigenvektoren und Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Eigenwerte
Lineare Abbildungen
Lineare Unabhängigkeit
Matrizenrechnung
Tags: Determinant, Eigenwert, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung
 
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Man betrachte die Ebene als reellen Vektorraum. Man gebe die Definitionen von Eigenraum und Eigenvektor für Abbildungen der Ebene in sich und erläutere die geometrische Bedeutung der Definitionen an einem selbst gewählten Beispiel Welche geometrischen Abbildungen der Ebene haben zwar einen Eigenwert, sind aber nicht diagonalisierbar? Es sei die Abbildungsmatrix gegeben. Bestimmen Sie eine orthogonale Basis aus Eigenvektoren von A. Die Definitionen in Aufgabe kann ich , aber bei fällt mir leider nicht ein, was für Abbildungen gemeint sind. Bei muss man das Gram Schmidt Verfahren benutzen und dann normieren, richtig? Falls jemand Tipps hat, wäre ich sehr dankbar!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, ich weiß bei b) nicht wirklich, wie man solche Abbildungen nennt. Klar ist aber folgendes: Wenn die nicht diagonalisierbaren Matrix den Eigenwert haben soll, so muss ihr char. Polynom den Teiler haben. Da das char. Polynom aber gerade den Grad zwei hat, bedeutet dies, dass es zerfällt, aber eben keinen andern Teiler der Art (mit ) hat. Langer Rede kurzer Sinn: Es muss also gelten. Da aber nicht diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis, sodass folgende Gestalt hat: (wobei ) (Erläuterung: Die Basis findet sich, indem man einen bel. Eigenvektor zum Eigenwert zu einer Basis ergänzt. Es ist nicht so schwierig, damit nachzurechnen, dass dann zumindest in der ersten Spalte so aussehen muss. Da aber die Matrix das gleiche char. Polynom haben muss, muss auf der Diagonalen dann nochmal auftreten. Darüber ist auf diesem Wege nicht vorhersagbar. Nur Null darf dort nicht stehen, da ja sonst eine Diagonalmatrix wäre.) Wie heißen nun aber die zugehörigen Abbildungen? Weiß ich nicht. Zu c): Die Matrix ist symmetrisch. Daraus folgt schon, dass sie reelle Eigenwerte hat und die Eigenvektoren orthogonal sind. Es reicht also, die Eigenvektoren auf dem üblichen Wege zu bestimmen. Gram-Schmidt im Anschluss ist nicht notwendig. Mfg Michael |
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Hallo, danke für die Hilfe! Ich muss mich entschuldigen, ich habe die Lösung für leider doch nicht finden können, also die Definition zur geometrischen Bedeutung und dem selbst ausgewähltem Beispiel. Kennst du da die Definition zufällig? Und zu könntest du bitte die geometrische Abbildung noch etwas genauer definieren, wenn das möglich wäre? Danke im Voraus! |
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Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der durch die Abbildung gestreckt oder gestaucht wird, und zwar um Faktor , was der entsprechende Eigenwert ist (falls , dann wird der Vektor gestaucht, und falls , dann gestreckt). Außerdem ändert der Vektor seine Richtung auf die entgegengesetzte, wenn . Das ist die geometrische Bedeutung. Wenn du als Beispiel die Matrix 2 0 0 -0.5 nimmst und durch sie erzeugte Abbildung, dann macht diese Abbildung Folgendes: sie macht aus dem Eigenvektor den Vektor , also wird er um gestreckt, und aus dem dem Eigenvektor den Vektor , also wird er um gestaucht und um 180 Grad gedreht. Wenn eine Abbildung nicht diagonalisierbar ist, aber einen Eigenwert hat, dann ist es eine Scherung. Es gibt nämlich eine Klassifikation der linearen Abbildung in einer Ebene: Skalierungen, Rotationen, Spiegelungen und Scherungen. Nur Scherungen sind nicht diagonalisierbar, haben aber einen Eigenwert. |
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Danke euch! |
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