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Eigenraum invariant, Matrizen, Diagonalmatrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Diagonalmatrix, Eigenraum, invariant, Matrizenrechnung

VA!13 aktiv_icon

15:27 Uhr, 01.06.2015

Gegeben seien die drei rationalen Matrizen

A_{1} = (\begin{matrix} - 2 & 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & 3 \end{matrix}), A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ - 2 & 1 & - 1 \end{matrix})

und

A_{3} = (\begin{matrix} 3 & - 2 & 2 \\ 2 & - 1 & 2 \\ - 1 & 1 & 0 \end{matrix})

(a)

Verifizieren Sie:

A_{i} \cdot A_{j} = A_{j} \cdot A_{i}

für alle

i, j

(b)

Folgern Sie, dass jeder Eigenraum

ℚ^{3}

einer jeden Matrix

A_{i}

Invarianz ist unter Multiplikation mit jeder Matrix

A_{j}

(c)

Bestimmen Sie eine einzige Matrix

T \in G L (n, ℝ)

derart, dass jede der Matrizen

T^{- 1} \cdot A_{i} \cdot T (i = 1,2,3)

eine Diagonalmatrix ist.

Danke für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

16:49 Uhr, 01.06.2015

Hallo,

mal Schritt für Schritt:

- Hast Du

a)

bearbeitet?
- Was bedeutet es, dass eine Unterraum invariant ist?

Gruß pwm

VA!13 aktiv_icon

10:18 Uhr, 02.06.2015

Hab ich noch nicht bearbeitet, da mir nicht ganz bewusst ist, was mit

A_{i}

und

A_{j}

gemeint ist.

und zur Definition von einem Invarianten Unterraum habe ich folgendes gefunden:
invarianter Unterraum bedeutet, dass

A \cdot v \in M_{2}

für alle

v \in M_{2}

In Kurzschreibweise:

A (M_{2}) \subseteq M_{2}

Um das nachzuweisen, muss man einfach nur die Basis von

M_{2}

einsetzen, A draufloslassen und gucken, dass das Ergebnis wieder in

M_{2}

ist.

Weiß aber nicht genau, wie ich das jetzt anwenden soll ?

pwmeyer aktiv_icon

14:10 Uhr, 02.06.2015

Hallo,

es handelt sich bei

A_{i}

um die 3 gegebenen Matrizen

A_{1}, A_{2}, A_{3}

.

Bei der Invarianzfrage kannst Du ausnutzen, dass es sich bei den Elementen von

M

hier um Eigenvektoren handelt.

Gruß pwm

VA!13 aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.06.2015

Okay, danke erstmal!
Aber

A_{i}

ist doch nicht die Menge der Matrizen sondern für

i = 1

ist es

A_{1}

und so weiter, bleibt mir nur noch die Frage, was

A_{j}

ist ?

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