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Eigenschaft der n-ten Primzahl

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Clemensum aktiv_icon

22:29 Uhr, 18.04.2011

Es bezeichne

p_{n}

die

n

-te Primzahl. Zeige:

p_{n} \leq 2^{2^{n - 1}} .

Beweisidee: (Induktion)

n = 1 : 2 \leq 2 \sqrt{}

n = 2 : 3 \leq 4 \sqrt{}

Es sollte genügen zu zeigen:

\forall n \in ℕ \exists z \in ℙ :

2^{2^{n - 1}} \leq z < 2^{2^{n}}

(wegen Induktionsbehauptung:

p_{n + 1} \leq 2^{2^{n}}

)

Dazu genügt es (??), solch ein

z

zu finden, das durch kein

t < 2^{2^{n - 1}}

teilbar ist bzw. zu zeigen, dass es mindestens ein solches geben muss.

Mir fehlen leider wichtige Sätze, um diese Ansätze zu beweisen...

Kann mir da jemand weiterheflen, sodass mir der Induktionsschritt gelingen könnte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pepe1 aktiv_icon

11:24 Uhr, 19.04.2011

1 .)

Die zündende Idee für den Induktionsschluß:

n \to n + 1

ist die gleiche wie sie im berühmten Beweis des Euklid ( es gibt unendlich viele Primzahlen) vorkommt:
Man konstruiert eine Zahl

P_{n} := \prod_{i = 1}^{n} p_{i} + 1

und zeigt, daß der ( nach dem Maximumprinzip der natürlichen Zahlen) existierende kleinste Teiler

t_{n} \neq 1

eine Primzahl

\neq p_{i}, i = 1,2 ... n

ist.
Es gilt somit für die auf

p_{n}

folgende Primzahl

p_{n + 1} : p_{n + 1} \leq t_{n} \leq P_{n}

Eine Abschätzung für

P_{n}

unter Verwendung der Induktionshypothese vollendet den Beweis:

P_{n} = 1 + \prod_{i = 1}^{n} p_{i} \leq 1 + \prod_{i = 1}^{n} 2^{e_{i}} = 1 + 2^{s_{n}}

mit

e_{i} = 2^{i - 1}

und

s_{n} = \sum_{i = 1}^{n} 2^{i - 1} = \sum_{i = 0}^{n - 1} 2^{i} = 2^{n} - 1

(geometrische Reihe)
Also:

p_{n} \leq 2^{s_{n}} + 1 \leq 2^{s_{n}} + 2^{s_{n}} = 2^{s_{n} + 1} = 2^{S_{n}}

mit

S_{n} = s_{n} + 1 = 2^{n}

(beachte die sehr grobe Abschätzung

1 \leq 2^{s_{n}}!)

2 .)

Die bewiesene Ungleichung zeigt wiederum, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.

3 .)

Eine Beweisführung der Ungleichung mithilfe des Satzes von Bertrand -Tschebyschow
(Bertrandsches Postulat), der besagt,daß für jede natürliche Zahl

n \geq 1

im Intervall

] n; 2 \cdot n]

mindestens eine Primzahl

p

zu finden ist, wäre auch möglich.
siehe hierzu Bemerkung im vorausgehenden Text: "Es sollte genügen zu zeigen: ∀n∈ℕ ∃z∈ℙ mit:

2^{2^{n - 1}} \leq z \leq 2^{2^{n}}

Mit dem genannten Satz ließen sich dann sicher auch "bessere" Abschätzungen finden als die hier zu beweisende, doch "sehr grobe" Abschätzung oberer Schranken für die n-te Primzahl.

MfG

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