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Eigenschaft einer Abbildung

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

tommy40629 aktiv_icon

21:16 Uhr, 28.02.2014

Hi,

Jede Abbildung f, kann als Komposition

f = g \circ h

geschrieben werden.
Wobei

h

surjektiv und

g

Injektiv ist.

3 Abbildungen aufstellen:

Sei

f : A \to C

eine Abbildung.
f ist weder Injektiv noch surjektiv.

Sei

h : A \to B

eine surjektive Abbildung
Sei

g : B \to C

eine Injektive Abbildung

Rückrichtung zeigen:
z.z.:

g \circ h = > f

Weil

h : A \to B

surjektiv ist, gilt:

\forall b \in B

gibt es ein

a \in A

mit

h (a) = b

Weil

g : B \to C

injektiv ist, gilt:

\forall b, b ʹ \in B g i l t : b \neq b ʹ = > g (b) \neq g (b ʹ)

(( Oder

\forall b, b ʹ \in B g i l t : g (b) = g (b ʹ) = > b = b ʹ

))

g \circ h : A \to B \to C

Sei

a \in A

g \circ h (a) = g (h (a)) = g (b) = c = f (a) \in C

Ist das soweit ok??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:17 Uhr, 01.03.2014

"Jede Abbildung

f,

kann als Komposition f=g∘h geschrieben werden.
Wobei

h

surjektiv und

g

Injektiv ist."

Diese Behauptung möchtest Du beweisen, oder?

Was Du dazu aufgeschrieben hast, erschließt sich mir nicht wirklich.

"Rückrichtung zeigen:"
Ich sehe gar keine verschiedenen Richtungen!

Ich denke, man sollte ganz konkret die Abbildungen

h

und

g

definieren (natürlich in Abhängigkeit von

f),

so dass man dann zeigen kann:

f = g \circ h

h

ist surjektiv

g

ist injektiv

tommy40629 aktiv_icon

18:44 Uhr, 01.03.2014

Ich habe die 3 Abbildungen so definiert:

Sei

f : A \to C

eine Abbildung.
f ist weder Injektiv noch surjektiv.

Sei

h : A \to B

eine surjektive Abbildung
Sei

g : B \to C

eine Injektive Abbildung

Sicher sollte man noch hinzufügen:

Sei

f : A \to C, f (a) = c

Sei

h : A \to B, h (a) = b

Sei

g : B \to C, g (b) = c

das ergibt sich aus der Definition der Abbildung.

Wenn man eine Gleichheit hat, muss man immer beide Richtungen zeigen.

f = g \circ h

, da muss man zeigen

f = > g \circ h

und

g \circ h = > f

Und nun muss man doch all die gegebenen Eigenschaften benutzen:

Injektivität von g

Surjektivität von h

Da davon ausgegangen wird, dass g injektiv und h surjektiv ist, muss man das nicht noch einmal beweisen, sondern kann die Definition einfach benutzen.

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18:48 Uhr, 01.03.2014

Also ich dachte immer, wenn

a = b,

dann auch

b = a

.
Du verwechselst das wohl mit einer Äquivalenzaussage.

tommy40629 aktiv_icon

18:50 Uhr, 01.03.2014

Mir hat im letzten Semester jemand gesagt, dass "=" das Selbe ist wie "<=>".

Deshalb habe ich 2 Richtungen gezeigt.

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18:53 Uhr, 01.03.2014

"Mir hat im letzten Semester jemand gesagt, dass "=" das Selbe ist wie "<=>"."

Na, da hast Du aber einen Experten gefragt!
Links und rechts eines Gleichheitszeichens stehen Terme, links und rechts von

\Leftrightarrow

stehen Aussagen.

tommy40629 aktiv_icon

18:58 Uhr, 01.03.2014

Dann würde es ja reichen,

entweder

f = g \circ h

oder

g \circ h = f

zu zeigen.

Ich fand das 2. zu zeigen einfacher.

g \circ h (a) = g (h (a)) = g (b) = c = f (a)

Was ich mir alles aus den Eigenschaften der injektiven und der surjektiven Funktion herausgesucht habe.

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19:05 Uhr, 01.03.2014

"entweder f=g∘h oder g∘h=f zu zeigen"
Ich sehe da immer noch keinen Unterschied!

Ich formuliere Deine Behauptung mal um:
Zu jeder Funktion

f

existieren Funktionen

g

und

h

mit

f = g \circ h

und

h

surjektiv,

g

injektiv.

Eine solche Existenzaussage kannst Du beweisen, indem Du einfach solche

h

und

g

angibst, in Abhängigkeit von der gegebenen Funktion

f

.
Das ist hier auch nicht sonderlich schwierig zu finden!

tommy40629 aktiv_icon

19:11 Uhr, 01.03.2014

Wie soll ich das erklären?

Ich fand es einfacher, mit

g \circ h

zu beginnen. Und dann durch Benutzung der Definitionen Abbildung, injektiv, surjektiv mich von der Menge "A" über die Menge "B" zur Menge "C" zu hangeln.

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19:14 Uhr, 01.03.2014

Du kannst doch nicht ernsthaft glauben, dass man aus den Eigenschaften

h

surjektiv und

g

injektiv folgern kann, dass

f = g \circ h

tommy40629 aktiv_icon

19:21 Uhr, 01.03.2014

Ich habe die 3 Abbildungen ja so definiert:

Sei

f : A \to C, f (a) = c

Sei

h : A \to B, h (a) = b

Sei

g : B \to C, g (b) = c

Jetzt sag man ja:

Sei

a \in A

, sei

f (a) = c

die Abbildungsvorschrift von f, dann kann man schreiben:

f (a) = c = g (b) = g (h (a)) = g \circ h (a)

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19:32 Uhr, 01.03.2014

Also die Funktion

f : A \to C

ist vorgegeben. Ich hoffe, da sind wir uns einig?!

Du sagst jetzt

h (a) = b

. Wo kommt denn dieses

b

her? Was ist überhaupt B?

tommy40629 aktiv_icon

19:36 Uhr, 01.03.2014

Ja, mit der Abbildung f sind wir uns einig.

B ist eine Menge.

h(a)=b, weil:

h : A \to B

surjektiv ist, deshalb gilt:

\forall b \in B g i b t e s e i n a \in A, m i t h (a) = b

Das habe ich einfach benutzt.

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19:44 Uhr, 01.03.2014

D . h

B

ist irgendeine Menge, ohne jeden Bezug zu f?

tommy40629 aktiv_icon

19:54 Uhr, 01.03.2014

Na ja, f geht ja von A nach C.

Bei der Abbildung f gibt es keine Menge B. Die Menge B gibt es nur bei der Abbildung h und g.

Genau vor dem Problem, in die Menge B zu kommen, stand ich immer, wenn ich zeigen wollte:

f = g \circ h

Ich hatte mir dann dies aufgeschrieben:

f und h starten in der Menge A.

a \in A

, wird durch f in eine andere Menge abgebildet. Aber das

a \in A

gibt es auch in der Abbildung h, die diese Eigenschaft hat, weil sie surjektiv ist:

\forall b \in B

gibt es ein

a \in A, m i t h (a) = b

Und hier kommt das h(a)=b her.

Matlog aktiv_icon

20:35 Uhr, 01.03.2014

Hm, ich finde es echt nicht leicht zu sagen, an welcher Stelle ich Deinen Ansatz nicht verstehe.

Noch ein Versuch:

f (a) = c

Jetzt legst Du die Funktionen

h

und

g

fest durch:

h (a) = b

g (b) = c

Und wenn Du das für alle

a \in A

so machst, dann haben wir jetzt unser

h

und

g

.
Aber gleichzeitig setzt Du voraus, dass

h

surjektiv und

g

injektiv ist.
Wenn Du

h

und

g

definierst, dann müsstest Du doch erst zeigen, dass sie surjektiv bzw. injektiv sind. Das muss doch alles zusammen passen!

tommy40629 aktiv_icon

20:57 Uhr, 01.03.2014

Man soll ja zeigen, dass jede Abbildung f als Komposition f=goh einer injektiven Abbildung g und einer surjektiven Abbildung h geschrieben werden kann.

Und weil im Text steht, dass g injektiv ist und h surjektiv, denke ich, kann man das auch benutzen.

Wie komme ich darauf?

In der Vorlesung hat der Prof gezeigt, dass wenn man 2 injektive bzw. surjektive Abbildungen hat, dann ist auch f=goh injektiv bzw. surjektiv.

Und hier hat er die Eigenschaften von injektiv und surjektiv einfach benutzt. Er hat sie nicht bewiesen.

Aus dem Grund habe ich dies hier genau so gemacht.

f ist ja weder injektiv noch surjektiv.

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21:08 Uhr, 01.03.2014

Puh!

"In der Vorlesung hat der Prof gezeigt, dass wenn man 2 injektive bzw. surjektive Abbildungen hat, dann ist auch f=goh injektiv bzw. surjektiv.

Und hier hat er die Eigenschaften von injektiv und surjektiv einfach benutzt. Er hat sie nicht bewiesen."

Dann kann er Injektivität bzw. Surjektivität von

g

und

h

benutzen (weil es vorausgesetzt ist), aber die Eigenschaft für

f

muss er selbstverständlich zeigen!

"f ist ja weder injektiv noch surjektiv."

Warum das? Man weiß nichts über

f!

Soll ich Dir meine Beweisidee sagen?

tommy40629 aktiv_icon

21:22 Uhr, 01.03.2014

Nein, bitte noch nicht.

Ich glaube, ich darf nur die Abbildung f voraussetzen.

Und alles andere muss ich nach und nach herleiten.

Ist doch so oder?

Matlog aktiv_icon

21:26 Uhr, 01.03.2014

Genauso ist es!

f

ist vorgegeben,

h

und

g

solltest Du finden!

tommy40629 aktiv_icon

21:33 Uhr, 01.03.2014

Ok, dann werde ich das machen.

Ich werde das dann morgen reinstellen.

Dann schon mal vielen Dank an Dich!

Ich hänge dann die Lösung an diesen Beitrag an.

Matlog aktiv_icon

21:40 Uhr, 01.03.2014

Viel Erfolg! Und denk nicht zu kompliziert...

tommy40629 aktiv_icon

21:42 Uhr, 01.03.2014

Ok, mach ich. Danke!

tommy40629 aktiv_icon

11:37 Uhr, 02.03.2014

So ich habe noch einmal bei Null angefangen:

z.z.: Jedes f kann als Komposition f=

g \circ h

geschrieben werden.
Wobei g injektiv und h surjektiv ist. f,g und h sind Abbildungen

Bekanntes über f:
Da f eine Abbildung ist gilt laut Def. der Abbildung. Seinen X und Y Mengen. Eine Abb.

f : X \to Y

ist eine Vorschrift, den jedem

x \in X

genau ein

y \in Y

zuordnet.

Also

f : X \to Y, x \mapsto y = f (x)

Abbildung f definieren:
Seinen X und Y Mengen und

f : X \to Y, x \mapsto y = f (x)

eine Abbildung.

f kann injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv sein.

f kann nicht injektiv sein, dann müßten auch g und h injektiv sind, was sie nicht sind.
f kann nicht surjektiv sein, dann müßten auch g und h surjektiv sind, was sie nicht sind.
Und f kann nicht bijektiv sein, dann müßten auch g und h bijektiv sind, was sie nicht sind.

f ist also weder injektiv noch surjektiv.

Vielleicht helfen die Definitionen von injektiv und surjektiv weiter.

Sei f injektiv =>

\forall x, \tilde{x} \in X : x \neq \tilde{x} = > f (x) \neq f (\tilde{x})

Weil f nicht injektiv ist gilt nur die Verneinung der Definition:

nicht

\forall x, \tilde{x} \in X : x \neq \tilde{x} = > f (x) \neq f (\tilde{x})

<=>

\exists x, \tilde{x} \in X : x = \tilde{x} u n d f (x) = f (\tilde{x})

Sei f surjektiv =>

\forall y \in Y \exists x \in X, s o d a s s y = f (x)

Weil f nicht surjektiv ist, gilt auch hier nur die Vereneinung der Definition:
nicht

\forall y \in Y \exists x \in X, s o d a s s y = f (x)

<=>

\exists y \in Y \forall x \in X, s o d a s s y \neq f (x)

Für die Abb. f gilt also:

\exists x, \tilde{x} \in X : x = \tilde{x} u n d f (x) = f (\tilde{x})

und

\exists y \in Y \forall x \in X, s o d a s s y \neq f (x)

Bei der Abbildung f gibt es also x-e, die die gleichen Bilder haben und es gibt y-s, die nicht getroffen werden.

f wurde ja so definiert:

f : X \to Y, f (x) = y

In X gibt es eine Teilmenge, wo gleiche

x \in X

gleiche Bilder

y \in Y

haben.
Und es gibt in Y eine Teilmenge, wo

y \in Y

nicht getroffen werden.

Weiter bin ich noch nicht. Ich überlege gerade, ob mit die Idenditäten auf X und Y etwas bringen...

11:54 Uhr
Auf jeder Menge gibt es eine kanonische Abbildung, die Idendität.
Für

f : X \to Y

gibt es dann

I d_{X} : X \to X, x \mapsto x

und

I d_{Y} : Y \to Y, y \mapsto y

Weiter gilt:

f \circ I d_{X} e n t s p r i c h t X \to X \to Y

und

I d_{Y} \circ f e n t s p r i c h t X \to Y \to Y

Ich wäre fast fertig, wenn ich sagen könnte:
Ich nehme die Abbildung,

f \circ I d_{X} e n t s p r i c h t X \to X \to Y

und kann irgendwie aus dem mittleren X ein Z machen

X \to Z \to Y

.

12:45 Uhr
Das mit dem Id's führt zu nix. Es gibt einen Trick, den man bei invertierbaren Abbildungen mit den Id's machen kann, aber f ist ja nicht bijektiv und damit nicht invertierbar.

Ich hatte jetzt die Idee die Mengen in die Elemente aufzuteilen, für die die Injektivität gilt und für die die Surjektivität gilt, in der Abbildung

f : X \to Y

Dann gibt es eine Menge

Y_{1}

, wo alle

y \in Y

ein

x \in X

haben und eine Menge

Y_{2}

, wo es

y \in Y

gibt, die keine

x \in X

haben.

Das Gleiche bei der Menge X.
Eine Menge

X_{1}

, wo verschiedene

x \in X

auf verschiedene

y \in Y

abgebildet werden. Und eine Menge

X_{2}

, wo verschiedene

x \in X

nicht verschiedene

y \in Y

abgebildet werden.

Ich stehe jetzt vor dem folgenden großen Problem:
Mir sind die Hände gebunden, da ich nicht auf die Eigenschaften von

g \circ h

zugreifen darf. Damit darf ich die Eigenschaften in den Definitionen der Komposition, Injektivität, Surjektivität nicht benutzen.
Ich darf damit keine Abbildung g und auch keine Abbildung h definieren.

Bei der Abbildung

f : X \to Y

gibt es die Quellmenge X und die Zielmenge Y.
X liegt hier und----------------------Y liegt hier. Dazwischen ist die Abbildung f.

Ich muss jetzt eine Mittelmenge, Z finden, die zwischen X und Y liegt.
X-------------------------Z--------------------------------------------Y

Die Teilmengen von X und Y liegen ja in X und in Y und nicht außerhalb von X bzw. y.

Was ich sehr schwer finde ist, dass ich nicht sagen darf:

Sei Z ein weitere Menge und seien g sowie h weitere Abbildungen. Dann....

Deshalb werde ich das hier beenden, da ich noch 30 Vorlesungen schaffen muss.

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13:25 Uhr, 02.03.2014

Du schreibst:

f

ist weder injektiv noch surjektiv.

Nein,

f

ist beliebig vorgegeben. Zu Injektivität oder Surjektivität von

f

wissen wir nichts!

f

könnte auch bijektiv sein. Wenn daraus dann weitere Eigenschaften für

h

und

g

folgen (außer den geforderten), na gut. Das muss uns aber nicht interessieren.

Gut finde ich hingegen die Idee mit der Identität. (Nur die Frage, ob als

g

oder

h .)

Du musst das nur so zusammensetzen, dass tatsächlich

h

surjektiv und

g

injektiv ist.

Die Menge

Z

ist gar kein Problem. Dazu ist nichts gesagt. Die kannst Du vollkommen frei wählen!

tommy40629 aktiv_icon

13:39 Uhr, 02.03.2014

Ich habe noch etwas ergänzt.

Und in dem Letzten sehe ich ein sehr großes Problem. Ich komme mir dadurch echt wie gefesselt vor. Kling doof ist aber wirklich so.

Matlog aktiv_icon

18:26 Uhr, 02.03.2014

Ich verstehe Dein "großes Problem" nicht!

f : X \to Y

ist gegeben.
Jetzt darfst Du als Menge

Z

wählen, was Du willst: auch

X, Y,

Teile davon oder ganz was anderes.
Auch die Funktionen

h

und

g

darfst Du definieren, wie Du willst.

Du musst nur etwas finden, so dass

f = g \circ h

und

h

surjektiv,

g

injektiv.

Anleitung:
Wie kann man ohne große Veränderungen aus einer (vermutlich) nicht surjektiven Abbildung

f

eine surjektive Abbildung

h

machen? (ohne an den Abbildungspfeilen

x \mapsto y

etwas zu verändern)

tommy40629 aktiv_icon

20:05 Uhr, 03.03.2014

Das große Problem ist:

Was darf man annehmen? Bei einem Satz sehe ich das jetzt ganz gut.
Bei dieser Aufgabe bin ich erst von zuviel ausgegangen und dann von zu wenig.

Ich habe die Aufgabe heute morgen noch einmal bearbeitet.

Habe aber am Ende sehr viel in Prosa geschrieben. Das muss ich in echt von jemanden ansehen lassen.

Dann noch einmal Danke an Dich!!

Matlog aktiv_icon

21:09 Uhr, 03.03.2014

Dann hier meine Lösungsidee, meiner Meinung nach die einfachste:

Gegeben:

f : X \to Y, f (x) = y

Ich definiere
h:X->Bild(f),

h (x) = f (x) = y

und
g:Bild(f)->Y,

g (y) = y

Zu zeigen, dass

f = g \circ h

und

h

surjektiv,

g

injektiv, sollte jetzt kein Problem mehr sein!

tommy40629 aktiv_icon

09:15 Uhr, 04.03.2014

Ich habe dann gesagt: was passiert, wenn die Abbildungen nicht injektiv und nicht surjektiv sind. Wie gesagt, war das viel Prosa. Am Ende habe ich dann, "zeigen können", dass die Abbildungen injektiv und surjektiv sein müssen.

Matlog aktiv_icon

09:42 Uhr, 04.03.2014

Was Du da jetzt schreibst, hört sich für mich immer noch so an, als hättest Du nicht realisiert, dass hier eine Existenzaussage für

h

und

g

zu zeigen ist.
Wenn man EIN Beispiel findet, ist die Existenz bewiesen.

Aber die Aufgabe scheint ja erledigt zu sein.

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