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Eigenschaften der Eulerschen Phi-Funktion

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie

Teilbarkeit

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Elementare Zahlentheorie, Teilbarkeit

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19:15 Uhr, 25.06.2011

Man zeige:

\forall m, n \in N : φ (m n) = φ (m) φ (n) \cdot \frac{d}{φ (d)}

(falls

g g T (m, n) = d

)
Beweisversuch:

Ich verwende:
- Multiplikativität der Phi-Funktion (1)
- Eindeutige Primfaktorenzerlegung (2)
- Überlegung:

ϕ (p^{α}) = p^{α} - p^{α - 1}

(3)

Sei nun für unsere Betrachtungen

d \in N \ P

.
(d.h. sei

d = r_{1}^{γ_{1}} \dots r_{n}^{γ_{n}}

)

Seien

p_{i}, q_{i}, r_{i} \in P

\forall i .

Wegen (1) und (3) kann ich nun schreiben:

ϕ (m) = p_{1}^{α_{1} - 1} (p_{1} - 1) \dots p_{n}^{α_{n} - 1} (p - 1) r_{1}^{γ_{1} - 1} (r_{1} - 1) \dots r_{n}^{γ_{n} - 1} (r_{n} - 1)

ϕ (n) = q_{1}^{β_{1} - 1} (q_{1} - 1) \dots q_{n}^{β_{n} - 1} (p - 1) r_{1}^{γ_{1} - 1} (r_{1} - 1) \dots r_{n}^{γ_{n} - 1} (r_{n} - 1)

\Rightarrow

ϕ (m) ϕ (n) = p_{1}^{α_{1} - 1} (p_{1} - 1) \dots p_{n}^{α_{n} - 1} (p_{n} - 1) q_{1}^{β_{1} - 1} (q_{1} - 1) \dots q_{n}^{β_{n} - 1} (q_{n} - 1)

{((r_{1}^{γ_{1} - 1} (r_{1} - 1) (r_{2}^{γ_{2} - 1} (r_{2} - 1)) \dots (r_{n}^{γ_{n} - 1} (r_{n} - 1)))}^{2}

Jetzt ist der Punkt angekommen, wo ich nicht mehr weiterkomm. Ich weiß nicht, wie man daraus, die Gültigkeit obiger Identität feststellen kann.

Kann mir da jemand helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

09:41 Uhr, 27.06.2011

Hallo,

ich denke, du fährst am besten, wenn du zunächst einen kleineren Schritt machst und für einen Teiler

d

von

n

den Wert

φ (d \cdot n)

berechnest.

Das ist eigentlich gut machbar, und darauf baut die Formel von oben auf.

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

15:10 Uhr, 28.06.2011

Hallo!

Danke für deine Antwort.

Nun folgender (ähnlicher) Lösungsansatz:

Seit

d = g g T (m, n)

, dann folgt:

m = a * d

n = b * d

mit

g g T (a, b) = 1 \Rightarrow φ (a b) = φ (a) \cdot φ (b)

und

m * n = a * b * d ²

Leider kann man ja nicht davon ausgehen, dass

a b

und

d^{2}

teilerfremd sind (oder irre ich mich??)

Die Primfaktorzerlegung von

d^{2}

würde lauter gerade Potenzen von Primzahlen ergeben......

Die Primfaktorzerlegung von

d ²

würde lauter gerade Potenzen von Primzahlen ergeben, auf die sich die Regel

φ (p^{n}) = p^{n} - p^{n - 1}

anwenden lässt.

Je zwei dieser Primzahlpotenzen sind zueinander teilerfremd, hier gilt also die Produktregel wieder.
Aber heir komme ich nun nicht weiter, da die einzelnen Primfaktoren ja zu unterschiedlichen Potenzen in den ggt eingehen können.

michaL aktiv_icon

17:58 Uhr, 28.06.2011

Hallo,

ja, kannst du nicht. Nimm etwa

m = 4

n = 8

, woraus

a = 1

b = 2

und

d = 4

folgen.

Da du offenbar meinen Lösungansatz nicht verfolgen möchtest: Viel Erfolg!

Mfg Michael

Clemensum aktiv_icon

18:01 Uhr, 28.06.2011

Tut mir leid, Michael!!

Ich habe es angesehen und erkannt, dass es tatsächlich nur mit deinem Ansatz geht!!

Nochmals, vielen Dank für deinen Hinweis und entschuldige!

michaL aktiv_icon

18:09 Uhr, 28.06.2011

Hallo,

dass es nur mit diesem Ansatz ginge, würde ich mich nicht erdreisten zu behaupten. Aber es geht damit. Und das ist doch das Ziel, oder? Einen Ansatz, mit dem man die Aussage beweisen kann.

Mfg Michael

PS: Bei weiteren Fragen (auch wenn du einen anderen Ansatz verfolgst und dazu Hilfe brauchst) stehe ich gern zur Verfügung.

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