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Eigenschaften der Householder-Matrix

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Tags: Determinant, Eigenschaft, Eigenwert, Householder, Householder-Matrix, Linear Abbildung, Sonstig, transformation

Dreemer aktiv_icon

02:42 Uhr, 03.12.2020

Hallo,
ich habe etwas Probleme mit folgender Aufgabenstellung:

Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Householder-Matrix

H = I_{n} - 2 v v^{T}

mit Einheitsvektor

v \in ℝ^{n}

(also

∥ v ∥ = 1

a)

H = H^{T} = H^{- 1}

b)

Eig (H, 1) = {(span (v))}^{⊥}

und

Eig (H, - 1) = span (v)

c)

\det (H) = - 1

a)

H = H^{T}

ist ja dadurch gegeben, dass außerhalb der Hauptdiagonaleinträge

1 - 2 v_{1} v_{1}, \dots, 1 - 2 v_{n} v_{n}

die Einträge

h_{j, k}

von H für

j \neq k

gilt

h_{j, k} = - 2 v_{j} v_{k} = - 2 v_{k} v_{j} = h_{k, j}

,
aufgrund der Kommutativität der Multiplikation in

ℝ

.

Außerdem gilt:

H^{2} = (I_{n} - 2 v v^{T})^{2} = I_{n} - 4 I_{n} v v^{T} + 4 v v^{T} v v^{T} .

v^{T} v = ∥ v ∥^{2} = 1^{2} = 1

, folgt somit

H^{2} = I_{n} - 4 v v^{T} + 4 v (v^{T} v) v^{T} = I_{n} - 4 v v^{T} + 4 v v^{T} = I_{n} \Rightarrow H = H^{- 1} .

Bei

b)

und

c)

komme ich aber nicht mehr wirklich weiter.

c)

will ich mit

b)

zeigen, indem ich die Eigenwerte von

H

ermittle (wobei wahrscheinlich

1

und

- 1

die einzigen Eigenwerte sein könnten) und die Determinante als Produkt der Eigenwerte ermittelt werden kann.

Ich komme bei

b)

nur nicht weiter.
Es gilt ja

Eig (H, - 1) = {x \in ℝ^{n} ∣ H x = x} .

Betrachte nun

x \in span (v) = {μ \cdot v ∣ μ \in ℝ} .

Dann gilt

H x = (I_{n} - 2 v v^{T}) x = x - 2 v v^{T} x = μ v - 2 μ \cdot v v^{T} v = μ v - 2 μ \cdot v = - μ v = - x .

Also ist

x

ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ_{1} = - 1

. Da ein beliebiges

x \in span (v)

gewählt worden ist, folgt doch dann

Eig (H, - 1) = span (v)

Sei nun

y \in {(span (v))}^{⊥}

, es gelte also

v^{T} y = 0 \forall y

.
Dann gilt

H y = y - 2 v v^{T} y = y - 2 v \cdot 0 = y .

Analog folgt dann doch

Eig (H, 1) = {(span (v))}^{⊥} .

Nun kommt aber folgender Punkt:
Woher weiß ich, dass

1

und

- 1

die einzigen Eigenwerte von

H

sind und es nicht eventuell mehr gibt?
Hoffentlich kann man mir hier weiterhelfen.

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

09:20 Uhr, 03.12.2020

"Woher weiß ich, dass 1 und −1 die einzigen Eigenwerte von H sind und es nicht eventuell mehr gibt?"

Der ganze Raum ist direkte Summe von

s p a n (v)

und

s p a n (v)^{⊥}

. Damit kann keine andere Eigenräume geben.

Determinante ist das Produkt der Eigenwerte samt Vielfachheit, und der Eigenraum zu

- 1

ist eindimensional, also ist die Determinante ein Produkt von einer -1 und vieler Einse.
Alternativ kann man es auch ohne Eigenwerte berechnen, s. hier:
matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=125241&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F

Dreemer aktiv_icon

13:57 Uhr, 03.12.2020

Hallo,

wie kommt man auf die Aussage, dass

ℝ^{n} = span (v)

\oplus

{(span (v))}^{⊥}

gilt?
Dass

span (v) \cap {(span (v))}^{⊥} = {0}

gilt, ist klar, aber die Gleichheit von

span (v) + {(span (v))}^{⊥}

mit

ℝ^{n}

wird mir nicht deutlich.
Kann man darauffolgend nicht schließlich mit der Dimensionsformel argumentieren, dass

\dim (span (v)) = 1, \dim ({(span (v))}^{⊥}) = n - 1

gilt?
So erhält man jeweils die geometrische Vielfachheit zum Eigenwert

1

bzw.

- 1

.
Insbesondere würde dann daraus folgen, dass

- 1

ein einfacher Eigenwert von

H

und

1

ein

(n - 1)

-facher Eigenwert von

H

ist. Also wäre

H

diagonalisierbar und somit ähnlich zu einer Diagonalmatrix

D = diag (1, \dots, 1, - 1) .

Schließlich würde dann gelten

\det (H) = \det (D) = 1^{n - 1} \cdot (- 1) = - 1 .

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

14:04 Uhr, 03.12.2020

Es gilt sogar allgemein für jeden Untervektorraum

W

ℝ^{n} = W \oplus W^{⊥}

.
Satz 6.15 hier:
http//home.mathematik.uni-freiburg.de/geometrie/lehre/ws2002/la1/skript/6.ss.pdf

"Kann man darauffolgend nicht schließlich mit der Dimensionsformel argumentieren"

Ja, das kann man so machen.

Dreemer aktiv_icon

15:25 Uhr, 03.12.2020

Hallo,

vielen Dank für die Hilfe!

Liebe Grüße

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