Startseite » Forum » Eigenschaften von Quadratzahlen

Eigenschaften von Quadratzahlen

Universität / Fachhochschule

15:34 Uhr, 09.06.2021

Aufgabe: Ist

m^{2} \in

ℤ, dann ist auch

m \in

ℤ.

Wie beweist man diesen Satz?

15:36 Uhr, 09.06.2021

Gar nicht, denn das ist falsch. Nimm

\sqrt{2}

10:49 Uhr, 10.06.2021

Womöglich fehlt die Voraussetzung

m \in ℚ

, d.h.,

m

ist rational ? Mit der wäre die Aussage dann doch richtig.

12:03 Uhr, 10.06.2021

Genau. Habe vergessen es mit anzugeben.

09:16 Uhr, 11.06.2021

Oha, hab ich mal richtig geraten...

Beweisskizze: Wir gehen gemäß Voraussetzung

m \in ℚ

aus von

m = \frac{u}{v}

mit teilerfremden ganzen Zahlen

u

und

v > 0

.

Forderung

m^{2} \in ℤ

heißt demnach, es existiert ein

k \in ℤ

mit

m^{2} = \frac{u^{2}}{v^{2}} = k

, umgestellt

u^{2} = k v^{2}

.

Der eigentliche Beweis geschieht nun indirekt: Angenommen, es ist

v > 1

, dann besitzt

v

einen Primfaktor

p

,
der aufgrund der Gleichung

k v^{2} = u^{2}

dann auch Teiler von

u^{2}

, und damit mittelbar auch von

u

ist - Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit von

u, v

. Damit war die Annahme falsch, und es ist zwingend

v = 1

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1537964

1537877

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?