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Eigenschaften von Quadratzahlen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Quadratzahl

 
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aran22

aran22 aktiv_icon

15:34 Uhr, 09.06.2021

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Aufgabe: Ist m2 ℤ, dann ist auch m ℤ.

Wie beweist man diesen Satz?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:36 Uhr, 09.06.2021

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Gar nicht, denn das ist falsch. Nimm 2.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:49 Uhr, 10.06.2021

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Womöglich fehlt die Voraussetzung m, d.h., m ist rational ? Mit der wäre die Aussage dann doch richtig.
aran22

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12:03 Uhr, 10.06.2021

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Genau. Habe vergessen es mit anzugeben.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:16 Uhr, 11.06.2021

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Oha, hab ich mal richtig geraten...

Beweisskizze: Wir gehen gemäß Voraussetzung m aus von m=uv mit teilerfremden ganzen Zahlen u und v>0.

Forderung m2 heißt demnach, es existiert ein k mit m2=u2v2=k, umgestellt u2=kv2.

Der eigentliche Beweis geschieht nun indirekt: Angenommen, es ist v>1, dann besitzt v einen Primfaktor p,
der aufgrund der Gleichung kv2=u2 dann auch Teiler von u2, und damit mittelbar auch von u ist - Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit von u,v. Damit war die Annahme falsch, und es ist zwingend v=1.

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