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Eigenschaften von Relationen

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

mueschbrot aktiv_icon

20:58 Uhr, 15.04.2016

Guten Abend! :-)

Wir beschäftigen uns im Studium momentan mit Relationen und auch mit deren Eigenschaften

(z . B

. reflexiv, transitiv usw.)
Jedoch habe ich das noch nicht so ganz verstanden.

In unserer Übung wollten wir die Relation

A = N

R = {(a, b) | 2 | a \cdot b

oder

a = b}

Dafür haben wir nun festgestellt, dass die Relation reflexiv ist - weil:

(a, a)

element R.
Erscheint mir auch ganz logisch, weil

a = b

sein kann. Somit dürfen die Dinger in der Relation auch ungerade sein.
Mein Problem ist jetzt einfach, wenn ich die Relation

R = {(a, b) | 2 | a \cdot b \cdot}

habe, ob diese auch reflexiv ist?! Denn zu der Relation können ja auch Doppelpaare gebildet werden, denn das Produkt von zwei Zahlen ist ja immer gerade, wenn mind. 1 Zahl gerade ist.

D . h

(2,2)

element

R; (4,4)

element

R

. Da die Menge aber alle natürlichen Zahlen umfasst, bin ich mir nicht sicher, ob diese Relation wirklich reflexiv ist. Wird die Reflexivität nur auf diese Relation bezogen oder alles was innerhalb der Menge möglich wäre?

Dann habe ich noch eine Frage.
Die Relation

R = {(a, b) | 2 | a \cdot b

oder

a = b}

Ist nicht transitiv - ist logisch, denn es gibt ja mind. 1 Gegenbeispiel(

(3,2)

element

R

und

(2,5)

element

R \to (3,5)

nicht element

R))

jedoch ist diese Relation nicht trichotom und damit auch nicht linear... und das verstehe ich nicht. Da haben wir das Beispiel gehabt:

(3,5)

Kein Element

R

und

(5,3)

kein Element

R

und

(3

ungleich

5)

.
Das verstehe ich nicht! Wir haben doch bei transitiv festgestellt, dass

(3,5)

eh kein Element der Relation ist. Warum wird das nun hier verwendet? Wird nun ein Blick auf die gesamte Menge der nat. Zahlen geworfen oder wie? Wenn ich sage, dass die Relation nicht trichotom ist, dann kann ich doch auch sagen, dass sie nicht symmetrisch ist?!

Bei symmetrisch haben wir uns nämlich notiert:

(a, b)

element

R \to (b, a)

element

R

Und bei trichotom:

(a, b)

element

A \to (a, b)

element

R

oder

(b, a)

element

R

oder

a = b

Demnach kann doch eine Menge nur trichotom sein, wenn in der Relation alle Elemente der Menge enthalten sind?!

Ich danke euch schon im Voraus für Antworten! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

21:31 Uhr, 15.04.2016

>

ob diese auch reflexiv ist?!
Nein. Denn damit eine Relation

R \subseteq ℕ \times ℕ

reflexiv ist, muss

(a; a) \in R, \forall a \in ℕ

gelten. Für ungerade a gilt das aber eben nicht.

Roman-22

21:38 Uhr, 15.04.2016

ad) trichotom

...

. Das verstehe ich nicht!

Wenn eine Relation trichotom ist, dann gilt für ALLE

a, b

mindestens eine der drei Eigenschaften aRb, bRa, oder

a = b

.

Das Paar

a = 3

und

b = 5

ist also hierfür ein Gegenbeispiel, denn für diese Werte trifft keine der drei geforderten Eigenschaften zu, denn weder

(3; 5)

noch

(5; 3)

sind Elemente der Relation und selbst mit gutem Willen und bei schlechtem Licht gilt

3 = 5

nicht!

>

Wenn ich sage, dass die Relation nicht trichotom ist, dann kann ich doch auch sagen, dass sie nicht symmetrisch ist?!
Natürlich kannst du das sagen, aber es wäre falsch.

Reflexivität und Trichotomie sind Eigenschaften, die FÜR ALLE Elemente der Basismenge gelten müssen.
Symmetrie ist (so wie auch dir Transitivität) eine Eigenschaft, die nur für die Elemente der Relation zutreffen muss.
Nur WENN

(a, b) \in R,

DANN muss auch

(b, a) \in R

sein.

R

mueschbrot aktiv_icon

21:50 Uhr, 15.04.2016

Okay! Danke, das macht es mir einfacher.

Somit ist die Relation

R = {(a, b) | 2 | a \cdot b}

Im Grunde nur symmetrisch, da

Reflexivität nicht gilt;

(1,1)

nicht element

R

Transitivität nicht gilt;

(1,2)

Element

R

und

(2,3)

Element

R

aber

(1,3)

nicht Element

R

Trichotom (und damit linear) nicht gilt da:

(3,5)

nicht Element

R

und

(5,3)

nicht Element

R

und

(3

ungleich

5)

.

Somit bleibt nur die Symmetrie:

(1,2)

Element

R \to (2,1)

Element

R

Roman-22

22:00 Uhr, 15.04.2016

>

Im Grunde nur symmetrisch,
Stimmt!

Die Relation ist auch nicht irreflexiv und nicht antisymmetrisch, auch nicht asymmetrisch und weiters auch nicht konnex.

Eine recht brauchbare Übersicht findet sicht

u . a

. hier:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Eigenschaften_bin%C3%A4rer_Relationen
(manche Links werden hier nicht richtig umgesetzt und verstümmelt. Also kopieren und in die Adresszeile des Browsers einfügen)

R

mueschbrot aktiv_icon

22:22 Uhr, 15.04.2016

Oh Super! Danke :-)

Dann habe ich noch eine Frage, zu noch einer Relation

A = N

R = {(a, b) : 2

teil nicht

(a + b)}

Diese Relation ist doch irreflexiv, da es absolut kein

(a, a)

element

R

gibt, da die addition von zwei geraden Zahlen immer gerade ist und auch die Addition von zwei ungeraden Zahlen immer gerade ist.

(2 + 2 = 4

und

3 + 3 = 6)

Zudem ist diese Relation symmetrisch, da

(a, b)

element

R

ist auch

(b, a)

element

R

sein muss.
(Kommutativgesetz der Addition)
Somit kann sie weder a-noch antisymmetrisch sein.

Die Relation ist nicht transitiv, da

(1,2)

element

R

und

(2,3)

element

R

aber

(1,3)

nicht element

R

ist.

Zudem ist die Relation nicht trichotom (somit auch nicht linear) da:

(1,3)

kein Element

R

und

(3,1)

kein Element

R

und 1 ungleich 3 ist.

Wäre das so richtig?

Roman-22

22:28 Uhr, 15.04.2016

Ja, alles OK

mueschbrot aktiv_icon

22:36 Uhr, 15.04.2016

Ohh Super! Da bin ich echt erleichtert! :-)

1000 x

danke für die wunderbare Hilfe! Ich habe das ganze nun endlich verstanden!
Wünsche dir noch ein schönes Wochenende. :-D)

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