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Eigenschaften von f: R^2 -> R

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Differenzierbarkeit, Richtungsableitung, Stetigkeit, youngsche ungleichung

anonymous

14:45 Uhr, 25.05.2020

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

f : ℝ^{2} \to ℝ

mit

f (x, y) = \frac{x^{3} y}{x^{4} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0)

und 0 für

(x, y) = (0,0)

zu zeigen ist:

a) f

ist stetig

b)

Alle Richtungsableitungen von

f

existieren in

(0,0)

c) f

ist in

(0,0)

nicht differenzierbar

Ich habe folgende Hinweise gegeben:

a)

Youngsche Ungleichung

c)

Betrache

x_{n} = n^{- α}

und

y_{n} = n^{- β}

für gewisse

α, β > 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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14:52 Uhr, 25.05.2020

Alle 3 Punkte gehen über die Definition. Den Hinweis brauchst zu für den 3. Punkt.

anonymous

08:49 Uhr, 26.05.2020

Ich weiß nicht, ob ich den Gradient falsch berechnet habe, aber ich komme auf folgendes Ergebnis:

(\begin{matrix} \frac{- y x^{2} (x^{4} - 3 y^{2})}{{(x^{4} + y^{2})}^{2}} \\ - \frac{x^{3} (y^{2} - x^{4})}{{(y^{2} + x^{4})}^{2}} \end{matrix})

und wenn ich jetzt hier

(0,0)

einsetze, erhalte ich ja einen Fehler. Somit müsste die Richtungsableitung in

(0,0)

doch nicht existieren?

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08:55 Uhr, 26.05.2020

Du musst wie gesagt per Definition vorgehen, also mit Grenzwert. Und nur im Punkt 0.
Was du gemacht hast, ist was Anderes, was dir hier nichts bringt.

anonymous

09:08 Uhr, 26.05.2020

Also

lim_{t \to 0} \frac{f (t,0) - f (0,0)}{t}

nach

x

und

lim_{t \to 0} \frac{f (0, t) - f (0,0)}{t}

nach y?

Ich erhalte dann nämlich für den Gradienten

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

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09:11 Uhr, 26.05.2020

Ja, das ist richtig

anonymous

09:16 Uhr, 26.05.2020

somit müsste es also

f_{\vec{r}} (0,0) = \frac{{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})}^{T} \cdot \vec{r}}{\vec{r}}

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09:19 Uhr, 26.05.2020

Mag sein, aber das brauchst du nicht wirklich so zu schreiben.
Die partiellen Ableitungen sind 0 bzw. Gradient ist (0,0), damit hast du den 2. Punkt fertig.

anonymous

09:27 Uhr, 26.05.2020

Bei dem 3. Punkt weiß ich nicht, wie ich anfangen soll

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09:33 Uhr, 26.05.2020

Die vorgeschlagenen

x_{n}

y_{n}

einsetzen.

anonymous

09:41 Uhr, 26.05.2020

Ich bin mir nicht ganz sicher, wo ich das einsetzen soll. Wir hatten die Definition mit der linearen Abbildung

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09:44 Uhr, 26.05.2020

Du weißt, dass Gradient (0,0) ist. Wäre f diff-bar, so wäre diese lineare Abbildung einfach Null. Dann müsste es gelten:

f (x_{n}, y_{n}) / ∥ (x_{n}, y_{n}) ∥ \to 0

. Das stimmt aber nicht, wenn man

α, β

passend wählt.

ermanus aktiv_icon

09:58 Uhr, 26.05.2020

Entschuldigung, wenn ich da kurz noch mal nachhake.
Meiner Ansicht nach ist b) nicht vollständig gelöst.
Es ging nicht nur um die beiden partiellen Ableitungen, sondern
um ALLE Richtungsableitungen.
Man kann diese zwar als Skalarprodukt mit dem Gradienten
bestimmen, wenn die Funktion in

(0, 0)

differenzierbar ist,
was hier ja aber gerade nicht der Fall sein soll.

Gruß ermanus

anonymous

10:02 Uhr, 26.05.2020

Wie kann ich es sonst lösen?

anonymous

10:06 Uhr, 26.05.2020

Würde für die 3 folgendes gehen:

α = 1

und

β = 2

?

ich hätte somit

\frac{\frac{n^{6}}{2 n^{- 4}}}{| | (n^{- 1}, n^{- 2}) | |}

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10:08 Uhr, 26.05.2020

Ja, ermanus hat Recht, ich hab's übersehen.
Allgemeine Richtungsableitung ist

lim_{t \to 0} \frac{f (t a, t b)}{t}

in diesem Fall, sie ist auch leicht zu berechnen.

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10:13 Uhr, 26.05.2020

α = 1

und

β = 2

sind ok, die Berechnung ist aber fehlerhaft

anonymous

10:15 Uhr, 26.05.2020

Soll ich für

(a, b) = (0,0)

einsetzen?

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10:16 Uhr, 26.05.2020

Nein!

(a, b)

ist die Richtung der Richtungsableitung. Sie ist nicht Null.
Nichts einsetzen, die Werte dürfen beliebig bleiben.

anonymous

10:27 Uhr, 26.05.2020

also für die Richtungsableitung habe ich folgendes:

lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^{3} a^{3} t b}{t^{4} a^{4} + t^{2} b^{2}}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^{2} a^{3} b}{t^{2} a^{4} + b^{2}}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{t^{2} a^{3} b}{t^{2} a^{4} + b^{2}} \cdot \frac{1}{t} = lim_{t \to 0} \frac{t a^{3} b}{t^{2} a^{4} + b^{2}} = \frac{0}{b^{2}} = 0

Bei der Berechnung von

10 : 06,

wo lag da der Fehler?

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10:31 Uhr, 26.05.2020

Es gab mehrere Fehler. Richtig wäre im Zähler

n^{- 3} n^{- 2} / 2 n^{- 4}

zu haben.

anonymous

10:37 Uhr, 26.05.2020

Ist die Richtungsableitung richtig?

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10:38 Uhr, 26.05.2020

Ja, ist richtig

anonymous

11:05 Uhr, 26.05.2020

ok super, was wäre mit der

a)

DrBoogie aktiv_icon

11:30 Uhr, 26.05.2020

Man kann hier einfach mit

ε - δ

arbeiten. Oder mit gegen 0 gehenden Folgen (Definition nach Heine).

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