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Eigenschaften von sinh und cosh Zeigen

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Differentiation

Funktionalanalysis

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Funktionentheorie

Komplexe Analysis

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, Komplexe Analysis

Vtxt1104 aktiv_icon

16:30 Uhr, 03.01.2022

Hallo Liebe Mathe freunde,

ich bräuchte Hilfe zum Zeigen folgender Eigenschaften vom sinh und cosh, da wir sowas bis jetzt noch nicht in den Vorlesungen durchgenommen haben aber dennoch als Aufgaben bekommen haben.

Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften von

s i n h

und

c o s h

a ) Für alle

x \in R

gilt:

c o s h^{2} (x) - s i n h^{2} (x) = 1 .

b) Die Funktionen

c o s h

und

s i n h

sind differenzierbar und es gilt

s i n h ʹ (x) = c o s h (x)

und

c o s h ʹ (x)

= s i n h (x)

für alle

x \in R .

c) Die Funktion

s i n h

ist streng monoton wachsend und besitzt
eine differenzierbare Umkehrfunktion

a r s i n h : R \to R .

Ich bedanke mich jetzt schonmal für jede Antwort :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

16:46 Uhr, 03.01.2022

.
Vorschlag:
damit du auch selbst etwas zur Lösung des Problems beitragen kannst:

\to

schlage nach, wie diese 2 hyperbolischen Funktionen mit den e-Funktionen
zusammenhängen.

\to

wenn du diesen Schritt geschafft hast, dann kommst du vielleicht sogar
ganz alleine zu den Antworten auf die Fragen der Aufgabe..

ok?
.

pivot aktiv_icon

16:52 Uhr, 03.01.2022

Hallo,

bei der a) kannst du verwenden dass

1.

\sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

\cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

Der Rest ist einfaches rechnen.

Gruß
pivot

rundblick aktiv_icon

16:56 Uhr, 03.01.2022

.
also, pivot, glaubst du tatsächlich, dass ein Student zu blöd sein könnte,
deine schönen Formeln selbst nachzuschlagen..
immerhin hast du es ja auch geschafft..
.

pivot aktiv_icon

17:04 Uhr, 03.01.2022

@rundblick

Du hast recht: Wenn ich es kann, dann kann es jeder :-) Da stand wohl der Servicegedanke zu sehr im Vordergrund. Dennoch bin ich gespannt was Vtxt1104 daraus macht.

rundblick aktiv_icon

17:31 Uhr, 03.01.2022

.
"Dennoch bin ich gespannt was Vtxt1104 daraus macht."

Ja , ich desgleichen.
Jedenfalls hat er sich - froh über deinen Service (denn wo hätte er denn
sowas überhaupt nachschlagen können?!.. :-)

) -

zurückgezogen ..

Nun gibt es vermutlich zwei Möglichkeiten:

\to

er wartet einfach, bis deine gespannte Spannung so gross wird,
dass du spontan zum Servieren der Lösungsschritte schreitest..
oder

\to

ihn packt erfreulicherweise der Ehrgeiz, nun selbst was zu machen;
dann freuen wir uns über seine Erfolgsmeldung oder gegebenenfalls auf
konkrete Fragen zu eventuell bei ihm aufgetauchten Problemen ..

ok?
.

Vtxt1104 aktiv_icon

17:32 Uhr, 03.01.2022

ich bin gerade an der Aufgabe dran :-)

pivot aktiv_icon

17:42 Uhr, 03.01.2022

@rundblick
Ich glaube wir können uns freuen.

pleindespoir aktiv_icon

19:10 Uhr, 03.01.2022

" glaubst du tatsächlich, dass ein Student ( ... ) "

Wir wissen ja nicht, ob er Theologie oder Sozialpädagogik studiert ;-)

Vtxt1104 aktiv_icon

19:10 Uhr, 03.01.2022

Wäre jetzt fertig, hab es mal angehängt, da ich es auf meinem Tablet gemacht hab

Respon

20:08 Uhr, 03.01.2022

"... und besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion

a r s i n h : ℝ \to ℝ

"

Kommt das noch ?

Vtxt1104 aktiv_icon

20:09 Uhr, 03.01.2022

Ne das wars an der stelle

Respon

20:10 Uhr, 03.01.2022

Aber Teil der Aufgabe ist es noch ?

Vtxt1104 aktiv_icon

20:14 Uhr, 03.01.2022

dadurch dass ich gezeigt habe dass sinh streng monoton wächst, habe ich ja auch gezeigt dass dieses Umkehrfunktion existiert

Respon

20:15 Uhr, 03.01.2022

Und ist sie auch differenzierbar ?

Vtxt1104 aktiv_icon

20:17 Uhr, 03.01.2022

oh stimmt das habe ich vergessen, aber ich wüsste jetzt auch nicht, wie ich das zeigen würde

Respon

20:19 Uhr, 03.01.2022

Ein trivialer Weg wäre diese Umkehrfunktion zu bestimmen und sie dann in Ruhe zu "untersuchen".

Vtxt1104 aktiv_icon

20:20 Uhr, 03.01.2022

du meinst diese abzuleiten?

Respon

20:23 Uhr, 03.01.2022

Respektive

. .

.
Wie bestimme ich denn die Ableitung einer Umkehrfunktion ?

Vtxt1104 aktiv_icon

20:30 Uhr, 03.01.2022

Naja 1/ die ableitung der funktion

Respon

20:32 Uhr, 03.01.2022

Ja !
Dann versuch's mal !

Vtxt1104 aktiv_icon

20:46 Uhr, 03.01.2022

Naja dann wäre es in unserem Fall ja ganz einfach mit :

x = \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{-} y) ∣ \cdot 2

2 x = e^{y} - e^{-} y

e^{y} - e^{-} y - 2 x = e^{y} - \frac{1}{e^{y}} - 2 x = 0

Substitution z=ey:

z - \frac{1}{z} - 2 x = 0 ∣ \cdot z

z^{2} - 1 - 2 \cdot x \cdot z = 0

Quadratische Gleichung auflösen:

z = x \pm \sqrt{1 + x^{2}}

Rücksubstitution:

e^{y} = x \pm \sqrt{1 + x^{2}} ∣ l n

Es macht nur das posivite ergebnis sinn, da Logarithmen von negativen zahlen nicht exisitieren

y = l n (x + \sqrt{1 + x^{2}})

So in etwa ? Wäre das dann der arsinh ?

Respon

20:51 Uhr, 03.01.2022

Ja !
Und die Ableitung ?

Vtxt1104 aktiv_icon

20:53 Uhr, 03.01.2022

ja gut die ableitung wäre dann

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Somit hätte ich gezeigt dass sinh eine differenziertbare Umkehrfunktion hat

Respon

20:58 Uhr, 03.01.2022

{[a r s i n h (x)]}^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Wie würdest du antworten auf die Frage : Ist die Ableitung für alle

x \in ℝ

definiert ?

Vtxt1104 aktiv_icon

21:01 Uhr, 03.01.2022

Wie meinst du das ?

Respon

21:04 Uhr, 03.01.2022

Gibt es irgendeine Stelle

x

an der

a r s i n h (x)

nicht differenzierbar ist ?

Vtxt1104 aktiv_icon

21:10 Uhr, 03.01.2022

Ich denke nicht : Wegen

s i n h ʹ (x) = c o s h (x) \neq 0

für alle

x \in R

ist der Arsinh:

R \to R

differenzierbar
und für jedes

x \in R

pleindespoir aktiv_icon

21:13 Uhr, 03.01.2022

"Ich denke nicht"

d a s

solltest Du bei Mathe niemals tun !

Vtxt1104 aktiv_icon

21:15 Uhr, 03.01.2022

ich habs ja begründet

Respon

21:16 Uhr, 03.01.2022

bzw.
Die Definitionsmenge von

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

ist

ℝ

.

Noch eine "Kleinigkeit"

Angabe

: a r s i n h (x) : ℝ \to ℝ

Besitzt

a r s i n h (x)

tatsächlich als Definitionsmenge und Wertemenge die gesamte Menge der reellen Zahlen ? ( denke an den "

l n

" )

Vtxt1104 aktiv_icon

21:20 Uhr, 03.01.2022

Ne dann wären es die nicht negativen reelen Zahlen, das wie schon eben gesagt es keine Logarithmen von negativen Zahlen gibt, aber das ist doch längst nicht mehr Teil der aufgabe oder ?

Respon

21:21 Uhr, 03.01.2022

Überlege mal, warum