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Eigenschaften zweier komplexer Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Eigenschaft, Komplexe Zahlen

Niki04

11:13 Uhr, 22.02.2019

Hallo!

Ich soll zwei komplexe Zahlen

z_{1}

und

z_{2}

berechnen, mit folgenden Eigenschaften

Die Summe beider Zahlen ist 4 und das Produkt beider Zahlen ist 8.

Das ist dann also

z_{1} + z_{2} = 4

und

z_{1} \cdot z_{2} = 8

.

Jetzt habe ich erfahren, dass man es wie folgt berechnen kann:

4 = p

8 = q

z_{1,2} = \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

z_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{{(\frac{4}{2})}^{2} - 8}

z_{1,2} = 2 \pm 2 j

z_{1} = 2 + 2 j

z_{2} = 2 - 2 j

Wie kommt man darauf?
Und warum lässt man das Minus vor dem

\frac{p}{2}

weg, welches ja eigentlich bei der p-q-Formel dabei ist?

Schon mal Danke für eure Hilfe!

Gruß Niklas

anonymous

11:39 Uhr, 22.02.2019

Hallo
"Jetzt habe ich erfahren, dass..."
Wenn man natürlich mitten drin anfängt, darf es nicht verwundern, dass man den Zusammenhang nicht erkennt.

Du hattest 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:

z_{1} + z_{2} = 4

z_{1} \cdot z_{2} = 8

Da wirst du also typischerweise das Gleichungssystem lösen, zB. durch das Einsetzungsverfahren.
erste Gleichung minus

z_{2} :

z_{1} = 4 - z_{2}

Einsetzen in die zweite Gleichung:

(4 - z_{2}) \cdot z_{2} = 8

4 \cdot z_{2} - z_{2} \cdot z_{2} = 8

- z_{2}^{2} + 4 \cdot z_{2} - 8 = 0

ganze Gleichung mal

(- 1)

z_{2}^{2} - 4 \cdot z_{2} + 8 = 0

Das ist die gemischt quadratische Gleichung, ab der du 'mittendrin' begonnen hast.

HAL9000

12:00 Uhr, 22.02.2019

> Wie kommt man darauf?

Interpretiert man

z_{1}, z_{2}

als Lösungen ein- und derselben quadratischen Gleichung

z^{2} + p z + q = 0

, so besagt die Satzgruppe von Vieta ( de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta )

z_{1} + z_{2} = - p

z_{1} \cdot z_{2} = q

.

In deinem Fall hier wäre daher

p = - 4

sowie

q = 8

, damit sind

z_{1}, z_{2}

die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung

z^{2} - 4 z + 8 = 0

.

P.S.: Du hast nun bei

p

gerade das Vorzeichen gedreht, d.h., du betrachtest stattdessen die quadratische Gleichung

z^{2} - p z + q = 0

. Geht natürlich auch, ich hab mich oben eher an die "übliche" Deutung gehalten.

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