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Eigenschaften zweier komplexer Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Eigenschaft, Komplexe Zahlen

 
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Niki04

Niki04

11:13 Uhr, 22.02.2019

Antworten
Hallo!

Ich soll zwei komplexe Zahlen z1 und z2 berechnen, mit folgenden Eigenschaften

Die Summe beider Zahlen ist 4 und das Produkt beider Zahlen ist 8.

Das ist dann also

z1+z2=4 und
z1z2=8.

Jetzt habe ich erfahren, dass man es wie folgt berechnen kann:

4=p
8=q

z1,2=p2±(p2)2-q

z1,2=42±(42)2-8

z1,2=2±2j

z1=2+2j
z2=2-2j


Wie kommt man darauf?
Und warum lässt man das Minus vor dem p2 weg, welches ja eigentlich bei der p-q-Formel dabei ist?

Schon mal Danke für eure Hilfe!

Gruß Niklas




Antwort
11engleich

11engleich

11:39 Uhr, 22.02.2019

Antworten
Hallo
"Jetzt habe ich erfahren, dass..."
Wenn man natürlich mitten drin anfängt, darf es nicht verwundern, dass man den Zusammenhang nicht erkennt.

Du hattest 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:
z1+z2=4
z1z2=8

Da wirst du also typischerweise das Gleichungssystem lösen, zB. durch das Einsetzungsverfahren.
erste Gleichung minus z2:
z1=4-z2
Einsetzen in die zweite Gleichung:
(4-z2)z2=8
4z2-z2z2=8
-z22+4z2-8=0
ganze Gleichung mal (-1)
z22-4z2+8=0

Das ist die gemischt quadratische Gleichung, ab der du 'mittendrin' begonnen hast.

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:00 Uhr, 22.02.2019

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> Wie kommt man darauf?

Interpretiert man z1,z2 als Lösungen ein- und derselben quadratischen Gleichung z2+pz+q=0, so besagt die Satzgruppe von Vieta ( de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_von_Vieta )

z1+z2=-p
z1z2=q .

In deinem Fall hier wäre daher p=-4 sowie q=8, damit sind z1,z2 die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung z2-4z+8=0.


P.S.: Du hast nun bei p gerade das Vorzeichen gedreht, d.h., du betrachtest stattdessen die quadratische Gleichung z2-pz+q=0. Geht natürlich auch, ich hab mich oben eher an die "übliche" Deutung gehalten.


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