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Eigentliche lineare Isometrie mit Drehmatrizen
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: Linear Abbildung, Skalarprodukt, Vektorraum
 
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Hi, die Aufgabenstellung befindet sich im Anhang. Ich habe mir zunächst die eventuell etwas leichtere Aufgabe gestellt, die Behauptung für eine Isometrie über zu beweisen. Worum geht es meiner Ansicht nach? Zunächst einmal ist eine eigentliche lineare Isometrie eine lineare Abbildung, und insbesondere ist sie eine Drehung. Die Aufgabenstellung verlangt den Nachweis, dass sich jede beliebige eigentliche lineare Isometrie als Verknüpfung von Drehungen um die zwei Koordinatenachsen darstellen lässt. Für mich bedeutet das: Ich soll nachweisen, dass sich eine beliebige eigentliche lineare Isometrie über dem darstellen lässt als eine Komposition weiterer eigentlicher linearer Isometrien. Für einen beliebigen Vektor bedeutete dies, dass sein Bild unter der eigentlichen linearen Isometrie mit seinem Bild unter der Komposition weiterer eigentlicher linearer Isometrien übereinstimmt. Da jede (eigentliche lineare) Isometrie eine lineare Abbildung ist und jede lineare Abbildung eindeutig über die Abbildung einer ihrer Basen bestimmt ist, muss es genügen, in diesem Fall die Abbildung der Standardbasis des zu betrachten. So weit sind meine Vorüberlegungen zu dieser Thematik, ein konkreter Ansatz fehlt mir noch. Einen Schuss ins Blaue will ich dennoch wagen: Wenn meine obigen Überlegungen stimmen, dann wäre es doch möglich, eine solche Isometrie darzustellen als eine Verknüpfung von sich selbst mit der identischen Abbildung, welche ja nach Definition (glaube ich) ebenfalls eine Isometrie sein müsste. Da das aber etwas zu einfach ist, hapert's wohl schon an den Vorüberlegungen. :-D) Wie könnte man hier vorgehen? Gruß!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Aufgabe 24.11? ;-) Das ist im Wesentlichen en.wikipedia.org/wiki/Euler's_rotation_theorem |
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"Zunächst einmal ist eine eigentliche lineare Isometrie eine lineare Abbildung, und insbesondere ist sie eine Drehung. " Insbesondere? Meinst Du, dass jede lineare Abbildung eine Drehung ist? ;-) (Hoffentlich nicht). Dass eine eigentliche lineare Isometrie eine Drehung ist, ist alles andere als offensichtlich, das wird in dem oben zitierten Theorem bewiesen. |
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Hi, vielen Dank für deine Antwort! (nein, es ist nicht Aufgabe ;-)) Das oben zitierte Theorem war Bestandteil der Vorlesung, ja. Ich bin mir nicht wirklich sicher, ob ich den Inhalt des Satzes verstanden habe. Wenn wir uns den Fußball als eine Kugel vorstellen, und auf dieser Kugel zwei diametral gegenüberliegende Punkte eintragen, dann handelt es sich bei der Verbindung zwischen diesen beiden Punkten um die Achse. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, eine Drehung herbeizuführen: 1. Wir drehen die Kugel um seine eigene Achse. Dabei erfährt jeder Punkt eine Veränderung seiner Position, außer die beiden Punkte, die jeweils am Ende der Achse liegen. 2. Wir drehen die Kugel als solche. Dabei erfahren auch die Punkte, die die Achse ausbilden, eine Veränderung ihrer Position, liegen aber noch immer diametral gegenüber. In der Aufgabenstellung ist nun von "Drehungen um die drei Koordinatenachsen" die Rede. Heißt das, dass ich mich hier lediglich auf den zweiten Fall zu konzentrieren habe? Mir fehlt hier noch immer der Zugang. Gruß! |
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Was heißt denn "Kugel als solche drehen"? :-O |
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Ah, nein, wir hatten auch noch den Satz, dass eine eigentliche Isometrie auf eine Drehung um eine feste Achse ist - also ist wohl eher dieser Fall zu betrachten. Müsste ich dann nachweisen, dass sich eine solche Drehung als Verknüpfung von weiteren Drehungen um eine feste Achse darstellen lässt? |
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"Müsste ich dann nachweisen, dass sich eine solche Drehung als Verknüpfung von weiteren Drehungen um eine feste Achse darstellen lässt?" Ja. |
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Gut, ich denke, ich komme gedanklich so langsam in die richtige Richtung. :-) Es ist bekannt, dass jede eigentliche Isometrie eine Drehung um eine feste Achse im darstellt. Ferner ist aus dem "Satz vom Fußball" bekannt, dass es bei jeder Drehung (mindestens) zwei Punkte gibt, die nach der Drehung ihre Position nicht verändern - hierbei handelt es sich in jedem Fall stets um die beiden Punkte, die die Achse ausbilden, um die herum die Drehbewegung stattfindet. (und dass eine solche Achse existiert, folgt ja gerade wieder aus dem ersten Satz) Wir stellen uns nun vor, eine Kugel würde in mehrere Richtungen hin und her gedreht werden, und das sei dann unsere "Gesamtdrehung". Wenn wir die Kugel nun wieder in ihre ursprüngliche Position zurückbringen wollten, so müssten wir eine Vielzahl vieler kleinerer Drehungen vollziehen, und jede dieser Drehungen wäre nach Definition eine Drehung um eine feste Achse, und diese Achse existiert jeweils, da wir die Kugel durch die Drehung um sie herum ja überhaupt erst in die Position nach der Gesamtdrehung gebracht haben. Die Gesamtdrehung kann daher dargestellt werden als eine Hintereinanderausführung vieler kleinerer Drehungen, die allesamt um eine feste Achse geschehen, und nach Definition handelt es sich hierbei jeweils um eigentliche Isometrien, und natürlich ist auch die Gesamtdrehung eine eigentliche Isometrie. Und damit wäre die Aufgabenstellung ja erfüllt. Oder? :-) |
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Wo sind denn in Deiner Überlegung Koordinatenachsen? |
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Dass hier von einer "Drehung um die drei Koordinatenachsen" die Rede ist, heißt doch nur, dass die "Teildrehungen" / Isometrien ebenfalls über definiert sind, oder nicht? |
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Nein, gemeint sind die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse. Und es geht darum, eine Drehung um irgendwelche Achse als Komposition von drei Dreihungen um diese Achsen darzustellen. In Matrixfrom heißt es dann, die Matrix einer allgemeinen Drehung als Produkt von drei Matrizen , und darzustellen, siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix |
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Also bringt mich mein bisheriger Ansatz überhaupt nicht weiter? |
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Nein. |
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Hast Du schon das gesehen? http//nghiaho.com/?page_id=846 Ausführlicher hier: en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions#Rotation_matrix_.E2.86.94_Euler_axis.2Fangle |
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Wir haben bisher leider nichts gemacht, das in diese Richtung geht. Mir ist das alles vollkommen fremd. |
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Leider kenne ich keine einfachere Methode. |
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Unsere dazugehörigen Vorlesungen sind hier zu finden: de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabr%C3%BCck_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_33 de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabr%C3%BCck_2015-2016)/Teil_II/Vorlesung_34 Wir haben lediglich konstatiert, dass eine Isometrie eine beschreibende Matrix der Gestalt besitzt, wie sie in deinen Links zu finden. Aber wie ich nun weitere solcher Matritzen ableite? Das haben wir noch nie besprochen. |
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Nun, die Antwort kennst Du ja (Eulers Winkel). Wie man darauf kommt, musst Du nicht unbedingt wissen. Ich glaube nicht, dass da ein einfacher Weg existiert, sonst wäre es noch lange bevor Euler entdeckt worden. |
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Aber wie würde ich das dann begründen müssen? Ich könnte es zwar nach dem beschriebenen Verfahren machen, aber wenn wir es so noch nicht durchgesprochen haben, würde es ja nicht akzeptiert werden, oder? |
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Ich kann doch nicht wissen, was derjenige gedacht hat, der Euch diese Aufgabe gestellt hat. Vielleicht wollte er einfach, dass Ihr auf Recherche geht und Eulers Winkel entdeckt. |
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Haha, na dann werde ich mich morgen nochmal daran versuchen und mich melden. Danke erst einmal bis hier hin! |
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Hey, ich bin bei meinen Recherchen noch auf diesen Absatz gestoßen: de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel#Matrix-Herleitung_im_allgemeinen_Fall Handelt es sich hierbei nicht gewissermaßen um die Beantwortung der Frage? :-) Schließlich kommt der Absatz zu dem Schluss: "Durch diese Darstellung ergibt sich, dass sich die Drehmatrix für eine beliebige Drehreihenfolge in nacheinander gedrehten Achsen durch die einfache Multiplikation von Drehmatrizen um globale Koordinatenachsen ergibt." |
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Der Schluss sagt nur etwas über "Drehreihenfolge in nacheinander gedrehten Achsen", Du hast aber nur eine einzelne Drehung. Allerdings muss ich zugeben, dass ich diesen Absatz gar nicht verstehe. |
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Okay, ich muss leider sagen, dass ich hier einfach nicht auf'n grünen Zweig komme. Könntest du mir ausnahmsweise den Beweis "vorsagen" / skizzieren, damit ich ihn zumindest auf dem Papier habe? :-) |
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Nein, kann ich nicht, das ist zu viel Tipparbeit. Ich müsste so ungefähr das Ganze von hier abtippen: http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/mech/node22.html Und was wäre der Sinn davon? |
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Ich hab's noch erfolgreich zusammengewurschtelt, danke sehr für die Geduld! :-) |
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