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Eigenvektor-Berechnung im endlichen Körper

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

8mileproof aktiv_icon

00:02 Uhr, 13.09.2012

hallo, habe folgende aufgabe(siehe unten als bild)

zu der matrix A habe ich die eigenwerte

0,1,2

bestimmt. nun sah meine diagonalmatrix so aus:

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

diese lösung habe ich mit der musterlösung verglichen und die ist richtig.
um die matrix

T

zu bestimmen musste ich die eigenvektoren der eigenwerte berechnen.

das habe ich auch so gemacht. allerdings kriege ich nicht dieselben LÖsungen wie in der musterlösung raus, obwohl ich die matrizen heute mindestens 1 million mal durchgerechnet habe.

also zum eigenwert 0 habe ich folgendes gemacht:

V (A - c \cdot E) = V (A - 0 \cdot E) :

(\begin{matrix} 2 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix})

darauf Gauß-alg. anwenden und ich komm' auf:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und ich erhalte den vektor

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

. dieser vektor in

F_{5}

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

.
zur probe habe den eigenvektor mit der ursprünglichen matrix multipliziert und da kam als ergebnis der 0-Vektor raus. also muss es ja richtig sein.

nun zum Eigenwert 1

V (A - c \cdot E) = V (A - 1 \cdot E) :

(\begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{matrix})

nach Gauß bekomme ich :

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und ich erhalte den eigenvektor

(\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{2} \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

dieser vektor in

F_{5}

ist ja

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})

. aber in der musterlösung steht ein anderer vektor.

nun zum Eigenwert

2 :

V (A - c \cdot E) = V (A - 2 \cdot E) =

(\begin{matrix} 2 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{matrix})

nach Gauß erhalte ich :

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{2}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

und somit den Eigenvektor

(\begin{matrix} 2 \\ \frac{2}{4} \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 4 \end{matrix}) \in F_{5}

wäre das ja

: (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

.

aber die musterlösung sagt wieder was anderes....ich komm nich mehr weiter....hab die musterlösung auch hochgeladen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

10:22 Uhr, 13.09.2012

Hi,

also dein 2. Vektor ist richtig. Multipliziere den doch mal mit 2, dann bekommst du

(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array})

wie in der Musterlösung.

Der 3. Vektor ist falsch (Probe!). Den Fehler kann ich nicht sehen, ich habe aber eine Vermutung. Wenn du auf die Matrix, die du da am Anfang zur Rechnung des 3. EV hingeschrieben hast, den Gauss-Algo loslässt, dann multiplizierst du die erste Zeile mit 2 und ziehst sie von der zweiten ab. Dann steht da in der 2. Zeile/2.Spalte ein

- 5 = 0

. Normalerweise würde man ja dann die zweite Zeile mit

\frac{1}{- 5}

multiplizieren, was aber in

F_{5}

eine Division durch Null wäre und somit nicht erlaubt ist. Das wäre ein Fehler...

Generell kannst du ja fast so wie in den reellen Zahlen rechnen, das einzige, was du nicht tun darfst während des Gauss-Algo ist, eine Zeile durch ein Vielfaches von

5

zu teilen (Division durch Null) oder mit einem Vielfachen von Null zu multiplizieren (Multiplikation mit Null, ist im Gauss-Algo verboten). Schau mal, ob du eins von beiden gemacht hast...

Lieben Gruß
Sina

Sina86

10:26 Uhr, 13.09.2012

Ah, ich hab den Fehler gefunden. Du hast

\frac{2}{4} = 2

geschrieben. In

F_{5}

ist

\frac{1}{4} = 4

und somit

\frac{2}{4} = 2 \cdot 4 = 8 = 3

8mileproof aktiv_icon

19:03 Uhr, 13.09.2012

ok, danke...ich werde das dann mal erneut durchgehen....

8mileproof aktiv_icon

17:31 Uhr, 15.09.2012

nein, an der stelle habe ich nur den vektor

(\begin{matrix} 2 \\ \frac{2}{4} \\ - 1 \end{matrix})

mit 4 multipliziert, sodass ich auf

(\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 4 \end{matrix})

. diesen vektor wiederum habe ich in

F_{5}

umgewandelt, sodass ich auf den vektor

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

gekommen bin.

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