Eigenvektor, Eigenunterraum

Hab ne Matrix A von der soll ich die Eigenwerte (das ist einfach ^^) sowie den Eigenunterraum (was zur Hölle...?) bestimmen! Wie stell ich das am besten an? Ich hab da schonmal angefangen...

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 3& -4\\ -2& 1& -2\end{array}\right]}$

die Eigenwerte sind:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=2,{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1,{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=-1}$

Dann hab ich mal n bissl gegoogled und bin auf folgendes Gleichungssystem gestoßen:

${\displaystyle (\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

Diese Matrix (Gleichungssystem) hab ich mal aufgestellt für ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ und in Dreiecksform gebracht:

${\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]}$

Was nun? Wie komme ich nun auf den gesuchten Vektor (der lautet übrigens so: ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={[0,4,1]}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$)

Für die anderen soll rauskommen: $$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={[-2,17,7]}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3,\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={[0,1,1]}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}} \end{gathered}$$

Ein Rechenweg wäre Extase pur!

Die Definition is bestimmt in der Vorlesung gefallen, aber der Typ hat ein Tempo drauf, dass du das Hirn ausschaltest und einfach ALLES abschreibst... nacharbeiten tu ichs dann aber immer eh irwie mitm internet ^^

Du meinst aber schon für ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$=4 oder?? Achja, sollte man dann eigentlich IMMER das kleinste Vielfache des Vektors angeben? Also zB hab ich für ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}$=2 eingesetzt, da komm ich auf den Vektor:

${\displaystyle {[0,8,2]}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Den sollte ich dann noch durch 2 rechnen oder?