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Eigenvektor bestimmen klappt nicht, warum?

Universität / Fachhochschule

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Lineare Algebra

mac-user09 aktiv_icon

11:58 Uhr, 20.02.2013

Hallo,

ich brauche Hilfe beim berechnen von Eigenvektoren. Ich weiß, wie das geht, jedoch stimmt es nicht.

Ich habe die Matrix, wie sie hier bei Wolfram steht: www.wolframalpha.com/input/?i=eigenvectors+%7B%7B1%2C1%2F2%2C1%7D%2C%7B-2%2C1%2C0%7D%2C%7B0%2C0%2C3%7D%7D

A:=

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 / 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})

Die Eigenwerte habe ich, wie sie auch Wolfram berechnet hat:

λ_{1} = 3

λ_{2} = 1 + i

λ_{3} = 1 - i

Jetzt wollte ich nach der Formel:

(λ * E - A) * v = 0

, E = Einheitsmatrix die Eigenvektoren berechnen.

Ich komme aber nicht auf die EV zu den Komplexen Eigenwerten.

Könnt ihr mir helfen?

Grüße
Mac.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

12:03 Uhr, 20.02.2013

Hallo,

"Eigenvektor bestimmen klappt nicht, warum?"

"Ich weiß, wie das geht, jedoch stimmt es nicht."

Klare Antwort: Du verrechnest Dich! Du willst vielleicht wissen wo, dann ist es aber unerläßlich, dass Du hier mal Deinen Rechenweg einstellst!

mac-user09 aktiv_icon

16:42 Uhr, 20.02.2013

Ich hoffte, dass mir jemand den Lösungswert für einen der Komplexen EW hier hinschreibt.

Nagut, dann ich. Der EV zum reellen EW war kein Problem. Nun zu den komplexen:

für

λ_{2} = 1 + i

:

Es gilt ja

(λ * E - A) * v = 0

[(\begin{array}{rcl} (1 + i) & 0 & 0 \\ 0 & (1 + i) & 0 \\ 0 & 0 & (1 + i) \end{array}) - (\begin{array}{rcl} 1 & 1 / 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array})] * v = 0

(\begin{array}{rcl} i & - 0, 5 & - 1 & 0 \\ 2 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Die letzte vertikale Nullspalte ist die 0 vom LGS. Ich weiß aber nicht, wie man den senkrechten Strich macht in Latex.

2i*I+II:

(\begin{array}{rcl} i & - 0, 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Ich habe nun einfach schon bei

(\begin{array}{rcl} i & - 0, 5 & - 1 & 0 \\ 2 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

gesagt, dass

x_{3} = t

ist und dann eingesetzt. Leider habe ich dann z.b. stehen:

2 x_{1} + 2 i^{2} x_{1} - 2 i t = 0

2 x_{1} - 2 x_{1} - 2 i t = 0

- 2 i t = 0

und dann stehe ich da und weiß nicht, was ich damit nun anfangen soll. Auf die EV von Wolfram oben aus dem Link komme ich jedenfalls nicht. So wäre jeder EV zu den komplexen EW (0,0,0)

Bummerang

07:41 Uhr, 21.02.2013

Hallo,

wieviel ist doch gleich

(1 + i) - 3

?

Außerdem:

Wenn Du eine Zeile hast, die aus lauter Nullen besteht, außer genau bei einem Koeffizienten, dann heißt das, dass das dazugehörige

x_{n} = 0

ist und nicht ein beliebiges

t!

Und wenn man es doch mit

t

probiert und am Ende

a \cdot t = 0

erhält (a=const und ungleich Null), dann sollte man spätestens merken, dass

t = 0

sein muss, damit das erfüllt ist!

mac-user09 aktiv_icon

17:32 Uhr, 21.02.2013

Oh ja, (1+i) -3 = -2+i

Ich dachte immer, wenn eine Nullzeile kommt heißt das, man könne sich die betreffende Variable selber setzen. Wann darf ich denn dann einfach etwas setzten?

Bummerang

08:22 Uhr, 22.02.2013

Hallo,

"Ich dachte immer, wenn eine Nullzeile kommt heißt das, man könne sich die betreffende Variable selber setzen."

Was verstehst Du unter einer "Nullzeile"?

1. Möglichkeit: Alle Koeffizienten und die rechte Seite ist Null (das verstehe ich unter einer "Nullzeile"!), dann heißt das doch nur, dass Du keine weiteren Informationen aus dieser Zeile mehr herauskitzeln kannst. Alle Ergebniswerte werden mit Null multipliziert und addiert, was soll da anderes herauskommen als Null? Also Zeile weglassen!

2. Möglichkeit: Alle Koeffizienten sind Null und die rechte Seite ist ungleich Null (auch das könnte ich als "Nullzeile" noch akzeptieren), das heißt doch, dass Du alle Ergebniswerte mit Null multiplizierst und addierst, wie kann da was rauskommen, das ungleich Null ist? Da hast Du einen Widerspruch,

d . h

. es gibt keine Lösungen!

3. Möglichkeit: Alle Koeffizienten bis auf genau einer sind Null und die rechte Seite ist gleich Null (das wäre für mich niemals eine "Nullzeile"). Hier kommt es gar nicht auf die rechte Seite an, die könnte auch irgendwas beliebiges sein, wichtig ist nur der Koeffizient ungleich Null. Dann bleibt Dir effektiv (nach Streichen aller Summanden mit Koeffizient Null) eien Aufgabe der Form:

a \cdot x_{k} = b

mit

a \neq 0

\Rightarrow x_{k} = \frac{b}{a}

Wenn

b = 0

war ergibt sich automatisch

x_{k} = 0,

aber wie gesagt, das dahinterstehende Verfahren ist unabhängig davon, dass

b = 0

ist.

Wie du siehst, ist in keiner der 3 erweiterten Möglichkeiten für eine Nullzeile die Wahl einer Lösung frei! Frei wählen kann man nur dann, wenn am Ende in einer Zeile mehrere Koeffizienten ungleich Null sind, das ist eher das ganze Gegenteil von einer Nullzeile!

Nacdem Du in der zweiten und dritten Zeile (wenn Du die dritte korrigiert hast!) herausgefunden hast, dass

x_{3} = 0

ist, kannst Du das in der ersten Zeile einsetzen und Du hast genau 2 Koeffizienten ungleich Null und einen Summanden, der sich wegen

x_{3} = 0

zu Null ergibt, den Du also weglassen kannst. Dann hast Du genau die von mir eben geschilderte Situation: Mehrere Koeffizienten sind ungleich Null. Du kannst dann immer bei

k

Koeffizienten ungleich Null genau

(k - 1)

Werte frei wählen! Der k-te Wert wird dann anhand der

(k - 1)

Werte berechnet!

mac-user09 aktiv_icon

12:24 Uhr, 22.02.2013

habe korrigiert und nun passt es.

Mit Nullzeile meine ich, wenn in einer Zeile durch Gauß nur 0len stehen.

Grüße

1075505

1074942

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